【题目】已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(6,﹣3),对称轴是直线x=4,顶点为B,OA与其对称轴交于点M,M、N关于点B对称.
(1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标;
(2)联结ON、AN,求△OAN的面积;
(3)点Q在x轴上,且在直线x=4右侧,当∠ANQ=45°时,求点Q的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣2x,点B的坐标(4,﹣4);(2)S△OAN=12;(3)点Q的坐标(34,0).
【解析】
(1)根据直线x=4和A(6,﹣3)列出方程组,求出a、b即可求出解析式,然后将x=4代入函数解析式,求得得y=﹣4,所以点B的坐标(4,﹣4);
(2)连结ON、AN,先求出M(4,﹣2),由M、N关于点B对称,求出N(4,﹣6),于是MN=4,所以S△OAN=MN|xA|=×4×6=12;
(3)设对称轴直线x=4与x轴交于点T,抛物线与x轴另一个交点为P,则P(8,0),直线AN与x轴交于点P,连接NQ,连接NA、AP,过点P作PR⊥PN,与NQ交于点R,过R作RH⊥x轴于点H.由∠PNR=∠ANQ=45°,则∠PRN=45°=∠PNR,所以PR=PN,易证△PTN≌△RHP(AAS),则RH=PT=4,PH=TN=6,TH=10,由HR∥TN,列出比例式求出HQ=20,于是OQ=OP+PH+HQ=8+6+20=34,所以点Q的坐标(34,0).
(1)由题意可得
,
解得a=,b=﹣2,
∴抛物线的表达式y=x2﹣2x
将x=4代入,得y=﹣4,
∴点B的坐标(4,﹣4);
(2)连结ON、AN,如图1.
∵A(6,﹣3),
∴直线OA:y=﹣x,
将x=4代入,y=﹣2,
∴M(4,﹣2),
∵M、N关于点B对称,B(4,﹣4),
∴N(4,﹣6),
∴MN=4,
∴S△OAN=MN|xA|=×4×6=12;
(3)设对称轴直线x=4与x轴于点T,抛物线与x轴另一个交点为P,则P(8,0).
∵A(6,﹣3),N(4,﹣6),
∴直线AN:y=,
令y=0,则x=8,
∴直线AN与x轴交点(8,0),
即直线AN与x轴交于点P,
如图2,连接NQ,连接NA、AP,过点P作PR⊥PN,与NQ交于点R,过R作RH⊥x轴于点H.
∵∠PNR=∠ANQ=45°,
∴∠PRN=45°=∠PNR,
∴PR=PN,
易证△PTN≌△RHP(AAS),
∴RH=PT=4,PH=TN=6,
∴TH=10,
∴HQ=20,
∴OQ=OP+PH+HQ=8+6+20=34,
点Q的坐标(34,0).
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【题目】 某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况,随机抽取部分男同学进行了1000米跑测试.按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级.学校绘制了如下不完整的统计图.
(1)根据给出的信息,补全两幅统计图;
(2)该校九年级有600名男生,请估计成绩未达到良好有多少名?
(3)某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛,预赛分为A、B、C三组进行,选手由抽签确定分组.甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少?
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【题目】在平面直角坐标系中,线段AB的两个端点A(0,2),B(1,0),点C为线段AB的中点.将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD,连结CD,AD.点P是直线BD上的一个动点.
(1)求点D的坐标和直线BD的解析式;
(2)当∠PCD=∠ADC时,求点P的坐标;
(3)若点Q是经过点B,点D的抛物线y=ax2+bx+2上的一个动点,请你探索:是否存在这样的点Q,使得以点P、点Q、点D为顶点的三角形与△ACD相似.若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AE是BC边上的高线,BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M 两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F ,FB为⊙O的直径.
(1)求证:AM是⊙O的切线
(2)当BE=3,cosC=时,求⊙O的半径.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=3,E为AD的中点,F为CD上一点,且DF=2CF,沿BE将△ABE翻折,如果点A恰好落在BF上,则AD=_.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,AC=3,AB=4,D为斜边BC的中点,E为AB上一个动点,将△ABC沿直线DE折叠,A,C的对应点分别为,,交BC于点F,若△BEF为直角三角形,则BE的长度为______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x﹣4与抛物线y=+bx+c交于坐标轴上两点A、C,抛物线与x轴另一交点为点B;
(1)求抛物线解析式;
(2)若动点D在直线AC下方的抛物线上;
①作直线BD,交线段AC于点E,交y轴于点F,连接AD;求△ADE与△CEF面积差的最大值,及此时点D的坐标;
②如图2,作DM⊥直线AC,垂足为点M,是否存在点D,使△CDM中某个角恰好是∠ACO的一半?若存在,直接写出点D的横坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E是CD边的中点,且BE⊥AC于点F,连接DF,则下列结论错误的是( )
A. △ADC∽△CFBB. AD=DF
C. D. =
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