练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2011•三元区质检）如图甲，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．
    （1）求点D的坐标；
    （2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
    （3）若平行于x轴的直线与抛物线交于G、H两点，且GH为直径的圆与x轴相切，求这个圆半径的长；
    （4）如图乙，P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．
    分析：（1）利用待定系数法将A（-1，0）、B（0，3）两点的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3a求出a、b的值就可以求出抛物线的解析式．然后化为顶点式就可以就可以求出其顶点D的坐标．
    （2）根据点B的坐标，待定系数法即可求出直线BD的解析式，从而求出直线BD与x轴的交点E的坐标，就可以求出AE的长度，根据平行四边形的性质就可以求出BF=2，知道F的横坐标，代入抛物线的解析式就可以求出F的坐标．
    （3）根据抛物线的对称性和圆的而且显性质，可以知道M的横坐标，设出M的坐标，根据正方形的性质求出M的坐标，从而求出圆的半径．
    （4）设出Q点的坐标，作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，则利用S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA，就可以把其面积的表达式表示出来，最后化成顶点式就可以求出其最值和Q的坐标．
    解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、B（0，3）两点，
    ∴
    0=a-b-3a
    3=-3a
    ，解得：
    a=-1
    b=2

    抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3
    y=-（x-1）2+4
    ∴D（1，4）；

    （2）∵四边形AEBF是平行四边形，
    ∴BF=AE．
    ∵B（0，3），
    设直线BD的解析式为：y=kx+b，
    则
    3=b
    4=k+b
    ，
    解得
    k=1
    b=3
    ，
    ∴直线BD的解析式为：y=x+3
    当y=0时，x=-3
    ∴E（-3，0），
    ∴OE=3，
    ∵A（-1，0）
    ∴OA=1，
    ∴AE=2
    ∴BF=2，
    ∴F的横坐标为2，
    ∴y=3，
    ∴F（2，3）；

    （3）设直径为GH的⊙M切x轴于点N，连接MN，作HQ⊥x轴于Q，
    ∴MN⊥x轴，且MN=HM，
    ∴四边形MNQH为正方形．由抛物线的对称性得MH=MG，
    ∴M在抛物线的对称轴上，设M（1，a），
    ∴H（a+1，a），
    ∴a=-（a+1）2+2（a+1）+3，解得：
    a1=
    -1-
    		17
    2
    ，a2=
    -1+
    		17
    2
    ．
    ∴这个圆半径的长为：
    -1+
    		17
    2
    ，
    1+
    		17
    2
    ．

    （4）如图，设Q（a，-a2+2a+3），作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P（2，3），
    ∴AR=a+1，QR=-a2+2a+3，PS=3，RS=2-a，
    ∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA
    =
    (a+1)(-a2+2a+3)
    2
    +
    (3-a2+2a+3) (2-a)
    2
    -
    3×3
    2
    ，
    ∴S△PQA=-
    3
    2
    （a-
    1
    2
    ）2+
    27
    8
    ，
    ∴当a=
    1
    2
    时，S△PQA的面积最大为
    27
    8
    ，
    ∴Q（
    1
    2
    ，
    15
    4
    ）．
    点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式，顶点坐标，平行四边形的性质的运用，圆的切线的性质的运用，三角形的面积公式的计算．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•三元区质检）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=4，D为BC上的点，连接AD（如图）．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C恰好落在边AB的中点处，那么点D到AB的距离是
    8
    3
    8
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•三元区质检）（1）先简化，再求值：（a+3）2+3a（a-2），其中a=
    1
    2
    ．
    （2）解不等式组
    5x-1＞2x+5
    x-4≤3x+1
    ，并在所给的数轴上表示出其解集．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•三元区质检）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：
    （1）OA=OB；
    （2）∠OCD=∠ODC．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2011•三元区质检）如图甲，点C是线段AB的中点，DE⊥AC于点E，且DE=AE=EC，FC⊥CB于点G，且FG=CG=GB．
    （1）求证：△DCF是等腰直角三角形；
    （2）将图甲中的AC绕点C逆时针旋转一个锐角，点H是AB的中点，如图乙所示．求证：△DHF是等腰直角三角形．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案