Question

2．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5$\sqrt{2}$，则BC的长为8．

Answer 1

分析 连接BD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．

解答 解：连接BD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD=5$\sqrt{2}$．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{（5\sqrt{2}）^{2}+（5\sqrt{2}）^{2}}$=10．
∵AC=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8．
故答案为：8．

点评 本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．