Question

如图，AB为⊙O的弦，C为劣弧AB的中点．
（1）若⊙O的半径为5，AB=8，求tan∠BAC；
（2）若∠DAC=∠BAC，且点D在⊙O的外部，判断AD与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，∵AB为⊙O的弦，C为劣弧AB的中点，AB=8，
∴OC⊥AB于E，
∴，
又∵AO=5，
∴，
∴CE=OC-OE=2，
在Rt△AEC中，；

（2）AD与⊙O相切．理由如下：
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC，
∵由（1）知OC⊥AB，
∴∠C+∠BAC=90°．
又∵∠BAC=∠DAC，
∴∠OAC+∠DAC=90°，
∴AD与⊙O相切．
分析：（1）根据垂径定理得到直角三角形，分别求出要求正切值的角的对边与邻边，就可以求其正切值；
（2）证明直线与圆相切可以转化为证明直线垂直经过切点的半径．
点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、切线的判定等知识，是一道难度适中的有关切线的判定的综合题目．