Question

【题目】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，点E在BC的延长线上，且∠EAC＝∠B，以DE为直径的半圆交AD于点F，交AE于点M．

（1）判断AF与DF的数量关系，并说明理由．

（2）只用无刻度的直尺画出△ADE的边DE上的高AH（不要求写做法，保留作图痕迹） ．

（3）若EF＝8，DF＝6，求DH的长．

Answer 1

【答案】（1）AF＝DF；（2）答案见试题解析；（3）．

【解析】

（1）AF=DF，理由是：求AE=DE，由等腰三角形的性质求出即可；

（2）由锐角三角形的三条高交于一点画出即可；

（3）证△ADH∽△EDF，得出比例式，代入求出即可．

（1）AF=DF，理由如下：

∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．又∵∠B=∠CAE，∴∠BAD+∠B=∠CAD+∠CAE．即∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，∵DE是直径，∴EF⊥AD，∴AF=DF；

（2）如图：连接DM，DM交EF于G，作射线AG交DE于H，此时AH是高．

（3）在△EFD中，EF=8，DF=6，由勾股定理得，DE=AE=10，∵AH是DE边上的高，∴∠AHD=90°，∵∠EFD=90°，∴∠AHD=∠EFD，∵∠ADH=∠EDF，∴△ADH∽△EDF，∴DH：DF=AD：DE，∴DH：6=12：10，解得DH=．