Question

（2013•乐山）如图，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E．且AB=

5

，BD=2．求线段AE的长．

Answer 1

分析：（1）如图，连接OD，要证明直线CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OD；
（2）首先，在直角△ADB中，利用勾股定理求得AD=1；
然后，利用相似三角形△AED∽△BAD的对应边成比例知

AD

AE

=

BD

BA

，则易求AE的长度．

解答：（1）证明：如图，连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=90°；
又∵OB=OD，
∴∠2=∠B，
而∠ADC=∠B，
∴∠1+∠ADC=∠ADO=90°，即CD⊥OD．
又∵OD是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线；

（2）解：∵在直角△ADB中，AB=

5

，BD=2，
∴根据勾股定理知，AD=

AB2-BD2

=1．
∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°．
又∠ADB=90°，
∴△AED∽△BAD，
∴

AD

AE

=

BD

BA

，即

1

AE

=

2

5

，
解得，AE=

5

2

，即线段AE的长度是

5

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．