如图.△ABC中.已知∠BAC＝45°.AD⊥BC于D.BD＝2.DC＝3.求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识.将图形进行翻折变换.巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路.探究并解答下列问题:(1)分别以AB.AC为对称轴.画出△ABD.△ACD的轴对称图形.D点的对称点为E.F.延长EB.FC相交于G点.求证:四边形AEGF是正方形,(2)设AD=x.建立关于x的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
(1)分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；
(2)设AD=x，建立关于x的方程模型，求出x的值.

（1）证明见解析；（2）6.

试题分析：（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x-2）²+（x-3）²=5²，求出AD=x=6．
试题解析：（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
∴四边形AEGF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF．
∴矩形AEGF是正方形．
（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．
∵BD=2，DC=3
∴BE=2，CF=3
∴BG=x-2，CG=x-3
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²，
∴（x-2）²+（x-3）²=5²．
化简得，x²-5x-6=0
解得x₁=6，x₂=-1（舍去）
所以AD=x=6．
考点:1. 翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.正方形的判定.

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