Question

17．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF=45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD．下列结论：①DE+BF=EF；②BN²+DM²=MN²；③△AMN∽△AFE；④$\widehat{BD}$与EF相切；⑤EF∥MN．其中正确结论的个数是（　　）

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 延长CB到G，使BG=DE，连接AG．根据全等三角形的性质得到AG=AE，∠DAE=∠BAG，求得∠GAF=∠EAF=45°．证得△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质即可得到EF=DE+BF；故①正确；在AG上截取AH=AM．根据全等三角形的性质得到BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，证得∠HBN=90°．根据勾股定理得到BH²+BN²=HN²．根据全等三角形的性质得到MN=HN．等量代换得到BN²+DM²=MN²；故②正确；根据平行线的性质得到∠DEA=∠BAM．推出∠AEF=∠ANM，又∠MAN=∠FAE，于是得到△AMN∽△AFE，故③正确；过A作AP⊥EF于P，根据角平分线的性质得到AP=AD，于是得到$\widehat{BD}$与EF相切；故④正确；由∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，于是得到MN不一定平行于EF，故⑤错误．

解答 解：延长CB到G，使BG=DE，连接AG．
在△ABG和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠D=∠ABG}\\{DE=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△ADE，
∴AG=AE，∠DAE=∠BAG，
又∵∠EAF=45°，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=45°
∴∠GAF=∠EAF=45°．
在△AFG和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠GAF=∠EAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△AFE，
∴GF=EF=BG+BF，
又∵DE=BG，
∴EF=DE+BF；故①正确；
在AG上截取AH=AM．
在△AHB和△AMD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠HAB=∠MAD}\\{AH=AM}\end{array}\right.$，
∴△AHB≌△AMD，
∴BH=DM，∠ABH=∠ADB=45°，
又∵∠ABD=45°，
∴∠HBN=90°．
∴BH²+BN²=HN²．
在△AHN和△AMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}\\{∠HAN=∠MAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$，
∴△AHN≌△AMN，
∴MN=HN．
∴BN²+DM²=MN²；故②正确；
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠BAM．
∵∠AEF=∠AED，∠BAM=180°-∠ABM-∠AMN=180°-∠MAN-∠AMN=∠AND，
∴∠AEF=∠ANM，
又∠MAN=∠FAE，
∴△AMN∽△AFE，故③正确；
过A作AP⊥EF于P，
∵∠AED=∠AEP，AD⊥DE，
∴AP=AD，
∴$\widehat{BD}$与EF相切；故④正确；
∵∠ANM=∠AEF，而∠ANM不一定等于∠AMN，
∴∠AMN不一定等于∠AEF，
∴MN不一定平行于EF，故⑤错误，
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．