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【题目】定义:有一个内角为90°,且对角线相等的四边形称为准矩形.

(1)①如图1,准矩形ABCD中,∠ABC=90°,若AB=2,BC=3,则BD=
②如图2,直角坐标系中,A(0,3),B(5,0),若整点P使得四边形AOBP是准矩形,则点P的坐标是;(整点指横坐标、纵坐标都为整数的点)
(2)如图3,正方形ABCD中,点E、F分别是边AD、AB上的点,且CF⊥BE,求证:四边形BCEF是准矩形;
(3)已知,准矩形ABCD中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2,当△ADC为等腰三角形时,请直接写出这个准矩形的面积是

【答案】
(1),(5,3),(3,5)
(2)解:∵四边形ABCD是正方形,

∴AB=BC∠A=∠ABC=90°,

∴∠EAF+∠EBC=90°,

∵BE⊥CF,

∴∠EBC+∠BCF=90°,

∴∠EBF=∠BCF,

∴△ABE≌△BCF,

∴BE=CF,

∴四边形BCEF是准矩形


(3)
【解析】(1)①∵∠ABC=90,

∴BD=

故答案为

②∵A(0,3),B(5,0),

∴AB= =

设点P(m,n),A(0,0),

∴OP= =

∵m,n都为整数,

∴点P(3,5)或(5,3);

故答案为P(3,5)或(5,3);

( 3 )

∵∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2,

∴BC=2 ,AC=4,

准矩形ABCD中,BD=AC=4,

①当AC=AD时,如图1,作DE⊥AB,

∴AE=BE AB=1,

∴DE=

∴S准矩形ABCD=S△ADE+S梯形BCDE

= DE×AE+ (BC+DE)×BE

= × + (2 + )×1

= +

②当AC=CD时,如图2,

作DF⊥BC,

∴BD=CD,

∴BF=CF= BC=

∴DF=

∴S准矩形ABCD=S△DCF+S梯形ABFD

= FC×DF+ (AB+DF)×BF

= × × + (2+ )×

= +

③当AD=CD,如图3,

连接AC中点和D并延长,连接BG,过B作BH⊥DG,

∴BD=CD=AC=4,

∴AG= AC=2,

∵AB=2,

∴AB=AG,

∵∠BAC=60°,

∴∠ABG=60°,

∴∠CBG=30°

在Rt△BHG中,BG=2,∠BGH=30°,

∴BH=1,

在Rt△BHM中,BH=1,∠CBH=30°,

∴BM= ,HM=

∴CM=

在Rt△DHB中,BH=1,BD=4,

∴DH= ,∴DM=DH﹣MH=

∴S准矩形ABCD=S△DCF+S四边形AMCD

= BM×AB+ AC×DM

= × ×2+ ×4×(

=2

故答案为

(1)①中易由勾股定理可得AC=,再由准矩形定义易得BD=AC=
②中由勾股定理可得AB=,所以OP=,又m,n为整数,可得P点只能为(3,5)或(5,3)。
(2)由准矩形定义只需证有一个直角以及对角线相等即可,由于有正方形ABCD可得∠FBC=90°;所以只需证对角线相等,由正方形性质易得△ABE≌△BCF,证得BE=CF,准矩形得证。
(3)由准矩形ABCD中,∠ABC=90°可知,只需证明对角线相等即可,又由△ADC为等腰三角形时所以需要分情况讨论,即AD=AC;CD=CA;DA=DC三种情况,又∠BAC=60°,AB=2;所以由割补法,可计算得到共有三种结果。

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