Question

18．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：
①BE=CD；
②∠DGF=135°；
③∠ABG+∠ADG=180°；
④若$\frac{AB}{AD}$=$\frac{2}{3}$，则3S_△BDG=13S_△DGF．
其中正确的结论是①③④．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 先求出∠BAE=45°，判断出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB=BE，∠AEB=45°，从而得到BE=CD，故①正确；
再求出△CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CG=EG，再求出∠BEG=∠DCG=135°，然后利用“边角边”证明△DCG≌△BEG，得到∠BGE=∠DGC，由∠BGE＜∠AEB，得到∠DGC=∠BGE＜45°，∠DGF＜135°，故②错误；
由于∠BGE=∠DGC，得到∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC-∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，故③正确；
由△BGD是等腰直角三角形得到BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{13}$a，求得S_△BDG，过G作GM⊥CF于M，求得S_△DGF，进而得出答案．

解答 解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，∠AEB=45°，
∵AB=CD，
∴BE=CD，
故①正确；
∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG=EG，∠FCG=45°，
∴∠BEG=∠DCG=135°，
在△DCG和△BEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠BEG=∠DCG}\\{CG=EG}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴∠BGE=∠DGC，
∵∠BGE＜∠AEB，
∴∠DGC=∠BGE＜45°，
∵∠CGF=90°，
∴∠DGF＜135°，
故②错误；
∵∠BGE=∠DGC，
∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC-∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，
故③正确；
∵$\frac{AB}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴设AB=2a，AD=3a，
∵△DCG≌△BEG，
∵∠BGE=∠DGC，BG=DG，
∵∠EGC=90°，
∴∠BGD=90°，
∵BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{13}$a，
∴BG=DG=$\frac{\sqrt{26}}{2}$a，
∴S_△BDG=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{26}}{2}$a×$\frac{\sqrt{26}}{2}$a=$\frac{13}{4}$a²
∴3S_△BDG=$\frac{3×13}{4}$a²，
过G作GM⊥CF于M，
∵CE=CF=BC-BE=BC-AB=a，
∴GM=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{2}$a，
∴S_△DGF=$\frac{1}{2}$•DF•GM=$\frac{1}{2}$×3a×$\frac{1}{2}$a=$\frac{3}{4}$a²，
∴13S_△DGF=$\frac{13×3}{4}$a²，
∴3S_△BDG=13S_△DGF，
故④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．