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如图,已知E为线段AB的中点,四边形BCDE是以BC为一边的正方形.以B为圆心,BD长为半径精英家教网的⊙B与AB边相交于F点,延长CB交⊙B于G点.
求证:(1)AD是⊙B的切线;
(2)DE2=EF•CG.
分析:(1)如图1,连接BD,由DE⊥AB,E为AB的中点,所以,AD=BD,再根据正方形的性质,可得∠ADB=90°;
(2)如图2,连接DF、DG,可通过证明Rt△DEF∽Rt△GCD来解答;∠DFB=
(180°-45°)
2
=67.5°,∠GDC=∠GDB+∠BDC=67.5°,∠GDB=
(180°-135°)
2
=22.5°,即可得出结论;
解答:精英家教网证明:(1)如图1,连接BD,
∵四边形BCDE是正方形∴∠DBA=45°,
∵DE⊥AB,E为AB的中点,∴AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
∴∠ADB=90°,
∴AD是⊙B的切线;

(2)如图2,连接DF,在△BDF中,∵BD=BF,精英家教网
∴∠BFD=∠BDF,又∵∠DBF=45°,
∴∠BFD=∠BDF=67.5°,
连接DG,在△BDG中,∵BD=BG,
∴∠BDG=∠BGD,
又∵∠DBG=∠DBE+∠GBE=45°+90°=135°,
∴∠GDB=22.5°,
在Rt△DEF与Rt△GCD中∵∠GDC=∠GDB+∠BDC=67.5°=∠DFE,
∴Rt△DEF∽Rt△GCD,
DE
GC
=
EF
CD

又∵CD=DE,
∴DE2=EF•CG.
点评:本题考查了正方形的性质、相似三角形及切线的判定与性质的综合应用,应熟练掌握其判定、性质定理,考查了学生综合应用知识的能力.
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