Question

12．已知二次函数y=x²+x的图象，如图所示
（1）根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x²+x=1的根在图上近似地表示出来（描点），并观察图象，写出方程x²+x=1的根（精确到0.1）．
（2）在同一直角坐标系中画出一次函数y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$的图象，观察图象写出自变量x取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值．
（3）如图，点P是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P是否在函数y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$的图象上，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0求得抛物线与x的交点坐标，从而可确定出1个单位长度等于小正方形边长的4倍，接下来作直线y=1，找出直线y=1与抛物线的交点，直线与抛物线的交点的横坐标即可方程的解；
（2）先求得直线上任意两点的坐标，然后画出过这两点的直线即可得到直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$的函数图象，然后找出一次函数图象位于直线下方部分x的取值范围即可；
（3）先依据抛物线的顶点坐标和点P的坐标，确定出抛物线移动的方向和距离，然后依据抛物线的顶点式写出抛物线的解析式即可，将点P的坐标代入函数解析式，如果点P的坐标符合函数解析式，则点P在直线上，否则点P不在直线上．

解答 解：（1）∵令y=0得：x²+x=0，解得：x₁=0，x₂=-1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（-1，0）．
作直线y=1，交抛物线与A、B两点，分别过A、B两点，作AC⊥x轴，垂足为C，BD⊥x轴，垂足为D，点C和点D的横坐标即为方程的根．

根据图形可知方程的解为x₁≈-1.6，x₂≈0.6．
（2）∵将x=0代入y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$得y=$\frac{3}{2}$，将x=1代入得：y=2，
∴直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$经过点（0，$\frac{3}{2}$），（1，2）．
直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$的图象如图所示：

由函数图象可知：当x＜-1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值．
（3）先向上平移$\frac{5}{4}$个单位，再向左平移$\frac{1}{2}$个单位，平移后的顶点坐标为P（-1，1）．
平移后的表达式为y=（x+1）²+1，即y=x²+2x+2．
点P在y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$的函数图象上．
理由：∵把x=-1代入得y=1，
∴点P的坐标符合直线的解析式．
∴点P在直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$的函数图象上．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用坐标轴上点的坐标特点、点的坐标与函数解析式的关系，函数与方程、不等式的关系，求得抛物线与x轴的交点坐标，确定出单位长度的大小以及数形结合思想的应用是解题的关键．