Question

设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d．
（1）如图①，当r＜a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

d、a、r之间的关系	公共点的个数
d＞a+r
d=a+r
a-r＜d＜a+r
d=a-r
d＜a-r

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有

 

个；
（2）如图②，当r=a时，根据d与a、r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：

d、a、r之间的关系	公共点的个数
d＞a+r
d=a+r
a≤d＜a+r
d＜a

所以，当r=a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有

 

个；
（3）如图③，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明r=

5

4

a．

Answer 1

分析：（1）当r＜a时，通过⊙O向左平移，得到⊙O与正方形的公共点的个数．
（2）当r=a时，正方形固定，把⊙O向左平移得到⊙O与正方形的公共点的个数．
（3）根据⊙O与正方形有5个公共点，在图③构成直角三角形，利用勾股定理计算得到r与a的关系．

解答：解：（1）

d、a、r之间的关系	公共点的个数
d＞a+r	0
d=a+r	1
a-r＜d＜a+r	2
d=a-r	1
d＜a-r	0

所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个；

（2）

d、a、r之间的关系	公共点的个数
d＞a+r	0
d=a+r	1
a≤d＜a+r	2
d＜a	4

所以，当r=a，⊙O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个；
（3）如图所示，连接OC．
则OE=OC=r，OF=EF-OE=2a-r．

在Rt△OCF中，由勾股定理得：
OF²+FC²=OC²
即（2a-r）²+a²=r^.2
4a²-4ar+r²+a²=r²
5a²=4ar
5a=4r
∴r=

5

4

a．

点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，（1）根据r＜a，当正方形固定，把⊙O向左平移时，得到圆与正方形的公共点的个数．（2）当r=a时，把正方形固定，⊙O向左平移，得到圆与正方形的公共点的个数．（3）利用勾股定理计算求出r与a的关系．