Question

（2013•安徽）图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（　　）

A．当x=3时，EC＜EM

B．当y=9时，EC＞EM

C．当x增大时，EC?CF的值增大

D．当y增大时，BE?DF的值不变

Answer 1

分析：由于等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，则△BEC和△DCF都是直角三角形；观察反比例函数图象得反比例解析式为y=

9

x

；当x=3时，y=3，即BC=CD=3，根据等腰直角三角形的性质得CE=3

2

，CF=3

2

，则C点与M点重合；当y=9时，根据反比例函数的解析式得x=1，即BC=1，CD=9，所以EC=

2

，而EM=3

2

；由于EC•CF=

2

x（6

2

-

2

x）配方得到-2（x-3）²+18，根据二次函数的性质得当0＜x＜3时，EC•CF的值随x的增大而增大；利用等腰直角三角形的性质BE•DF=BC•CD=xy，然后再根据反比例函数的性质得BE•DF=9，其值为定值．

解答：解：因为等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，所以△BEC和△DCF都是直角三角形；
观察反比例函数图象得x=3，y=3，则反比例解析式为y=

9

x

；
当x=3时，y=3，即BC=CD=3，所以CE=

2

BC=3

2

，CF=

2

CD=3

2

，C点与M点重合，则EC=EM，所以A选项错误；
当y=9时，x=1，即BC=1，CD=9，所以EC=

2

，而EM=3

2

，所以B选项错误；
因为EC•CF=

2

x（6

2

-

2

x）=-2（x-3）²+18，所以当0＜x＜3时，EC•CF的值随x的增大而增大，所以C选项错误；
因为BE•DF=BC•CD=xy=9，即BE•DF的值不变，所以D选项正确．
故选D．

点评：本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．