Question

15．如图所示，在正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使得∠BAE=15°，连接AE、CE，延长CE到F，连接BF，使得BC=BF．若AB=1，有下列结论：①AE=EC；②F到BC的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；③BE+EC=EF；④S_△EBF=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．其中正确结论的序号是①③④．

Answer 1

分析 根据正方形的性质推出AB=BC，∠ABD=∠CBD=45，证△ABE≌△CBE，即可判断①；过F作FH⊥BC于H，根据直角三角形的性质即可求出FH；过A作AM⊥BD交于M，根据勾股定理求出BD，根据三角形的面积公式即可求出高AM，根据三角形的面积公式求出即可．

解答 解：∵正方形ABCD，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠ADB=∠CDB}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，∴①正确；
∵过F作FH⊥BC交CB的延长线于H，
∵BF=BC=1，
∴∠BFC=∠FCB=15°，
∴∠FBH=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$，∴②错误；
在EF上取一点N，使BN=BE，
又∵∠BEN=∠EBC+∠ECB=45°+15°=60°，
∴△NBE为等边三角形，
∴∠ENB=60°，
又∵∠NFB=15°，
∴∠NBF=45°，
又∵∠EBC=45°，
∴∠NBF=∠EBC，
在△FBN和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NBF=∠EBC}\\{BF=BC}\\{∠NFB=∠ECB}\end{array}\right.$，
又∵BF=BC，∠NFB=∠ECB=15°，
∴△FBN≌△CBE，
∴NF=EC，
故BE+EC=EN+NF=EF，∴③正确；
作AM⊥BC，
∵AB=1，
∴BM=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠AEM=60°，
∴EM=$\frac{AM}{tan∠AEM}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴S_△AEM=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∴S_△ABE=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∴S_△CBE=S_△ABE=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，
∵S_△CBF=$\frac{1}{2}×$1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△EBF=$\frac{\sqrt{3}}{12}$，④正确，
故答案为：①③④．

点评 本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．