Question

（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上一点，作DE∥AC交AB于点E，说明△BDE也是等边三角形．
（2）如图2，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC，请你根据（1）中的方法适当添加辅助线，构造全等三角形，说明BD=AE．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，再由DE∥AC可知∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C=60°，故∠B=∠BED=∠NDE=60°，由此即可得出结论；
（2）作DK∥AC交AB于K，根据平行线的性质可得出△BDK是等边三角形，∠EKD=∠EAC，故DK=BD，再根据ED=EC可知∠EDC=∠ECD，由三角形外角的性质可知∠B+∠KED=∠EDC，因为∠ECA+∠ACB=∠ECD，故可得出∠B+∠KED=∠ECA+∠ACB，再由∠B=∠ACB=60°可知∠KED=∠ECA，故可得出△DKE≌△EAC，故AE=DK，进而可得出结论．

解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C=60°，∴∠B=∠BED=∠NDE=60°，
∴△BDE也是等边三角形；

（2）证明：作DK∥AC交AB于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴同（1）可得△BDK是等边三角形，∠EKD=∠EAC，
∴DK=BD，
∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∴∠B+∠KED=∠EDC，
∵∠ECA+∠ACB=∠ECD，
∴∠B+∠KED=∠ECA+∠ACB，
∵∠B=∠ACB=60°，
∴∠KED=∠ECA，
在△DKE与△EAC中，

∠EKD=∠EAC ∠KED=∠ECA ED=EC

，
∴△DKE≌△EAC（AAS），
∴AE=DK，
∴BD=AE．

点评：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°是解答此题的关键．