Question

14．已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（2）是否存在某一时刻t，PQ把△ABC的周长分成1：2两部分？如果存在，求出相应的t值或取值范围；不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）本题要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．
（2）分别求出PQ把△ABC的周长分成的两部分的周长，即可证得在0＜t＜3范围内，t取任何值，PQ始终把△ABC的周长分成1：2两部分．

解答 解：（1）根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则
∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
当∠BQP=90°时，BQ=$\frac{1}{2}$BP，
即t=$\frac{1}{2}$（3-t），t=1（秒），
当∠BPQ=90°时，BP=$\frac{1}{2}$BQ，
3-t=$\frac{1}{2}$t，t=2．
答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

（2）∵AP=tcm，BQ=tcm，
∴PB=CQ=3-t，
∵PB+BQ=3-t+t=3，PA+QC+AC=t+3-t+3=6，
∴当0＜t＜3范围内，t取任何值，PQ始终把△ABC的周长分成1：2两部分．

点评 本题主要考查了直角三角形的判定、图形周长的求法、直角三角形的性质等知识点．考查学生数形结合的数学思想方法．