Question

5．已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10，△ABF的面积为24cm²，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²=AC•AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结EF交AC于O，如图，利用折叠的性质得EA=EC，FA=FC，再证明△AEF为等腰三角形得到AE=AF，则AE=EC=AF=CF，然后根据菱形的判定方法可判断四边形AFCE是菱形；
（2）先利用面积公式得到AB•BF=48，再利用勾股定理得到AB²+BF²=AF²=100，则利用完全平方公式可得到AB+BF=14，从而得计算出△ABF的周长；
（3）过点E作EP⊥AD交AC于P，此时P点为所作，利用∠EAO=∠POE，∠AOE=∠AEP可判断△AOE∽△AEP，则利用相似比得到AE²=AO•AP，由于OA=$\frac{1}{2}$AC，所以2AE²=AC•AP．

解答 （1）证明：连结EF交AC于O，如图，
∵将矩形ABCD（AD＞AB）折叠，使点A与点C重合，
∴EF垂直平分AC，
∴EA=EC，FA=FC，
∴∠2=∠3，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
而AO⊥EF，
∴△AEF为等腰三角形，
∴AE=AF，
∴AE=EC=AF=CF，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：在Rt△ABF中，∵$\frac{1}{2}$AB•BF=24，
∴AB•BF=48，
∵AF=AE=10，
∴AB²+BF²=AF²=100，
∴（AB+BF）²-2AB•BF=100，即（AB+BF）²-2•48=100，即
∴AB+BF=14，
∴△ABF的周长=AB+BF+AF=14+10=24（cm）；
（3）解：存在．
过点E作EP⊥AD交AC于P，此时P点为所作，如图，则∠AEP=90°，
∵∠EAO=∠POE，∠AOE=∠AEP，
∴△AOE∽△AEP，
∴AO：AE=AE：AP，
∴AE²=AO•AP，
∵OA=$\frac{1}{2}$AC，
∴2AE²=AC•AP．

点评 本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠的性质、矩形的性质和菱形的判定方法；会利用勾股定理和相似比计算线段的长和表示线段之间的关系．