Question

19．关于x的一元二次方程x²+2x+2m=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x₁，x₂是一元二次方程x²+2x+2m=0的两个根，且x₁²+x₂²=8，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x₁+x₂=-2，x₁•x₂=2m，再结合完全平方公式可得出x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂，代入数据即可得出关于关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，经验值m=-1符合题意，此题得解．

解答 解：（1）∵一元二次方程x²+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴△=2²-4×1×2m=4-8m＞0，
解得：m＜$\frac{1}{2}$．
∴m的取值范围为m＜$\frac{1}{2}$．
（2）∵x₁，x₂是一元二次方程x²+2x+2m=0的两个根，
∴x₁+x₂=-2，x₁•x₂=2m，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁•x₂=4-4m=8，
解得：m=-1．
当m=-1时，△=4-8m=12＞0．
∴m的值为-1．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4-8m＞0；（2）结合题意得出4-4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．