Question

如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，四边形AEFG是平行四边形，AE=GC．
（1）求证：AB=DC；
（2）当∠FGC=2∠1时，试判断四边形AEFG的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用平行线的性质和判定以及平行四边形的性质得出，∠GFC=∠C，进而得出∠B=∠C即可得出答案；
（2）利用已知得出∠CGH=∠1，进而得出∠1+∠B=90°，求出∠BEF=90°，即∠AEF=90°，利用矩形的判定得出答案．

解答：（1）证明：∵四边形AEFG是平行四边形，
∴AE∥GF，AE=GF．
∴∠GFC=∠B．
∵AE=GC，AE=GF，∴GF=GC，∴∠GFC=∠C．
∴∠B=∠C．
∴AB=DC．

（2）解：四边形AEFG是矩形．
理由：作GH⊥BC于点H．
∵GF=GC，∴∠FGC=2∠CGH，
又∵∠FGC=2∠1，∴∠CGH=∠1，
∴∠CGH+∠C=90°，
∴∠1+∠B=90°，
∴∠BEF=90°，∴∠AEF=90°，
∴平行边形AEFG是矩形．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定定理和平行线的性质等知识，根据已知得出∠1+∠B=90°是解题关键．