Question

6．平面直角坐标系中，边长为 a的正方形OABC如图放置．
（1）①如图1，直接写出点B的坐标B（a，a ）
②如图1，a=$\sqrt{5}$，点D为OC上一点，连接BD，分别过点C、D作BD的垂线，垂足为M、N，若CM=1，求N点的坐标；
（2）如图2，连接对角线AC，点P为线段BC上一点（不包含B、C），以OP为直角边向上作等腰Rt△EOP，∠EOP=90°，EP交AC于H，求证：OH=$\frac{1}{2}$EP；并直接写出OH的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①利用正方形四边相等即可解决问题．
②如图1中，作NE⊥AB于E，NF⊥OA于F．则四边形NFAE是矩形．，求出NF、NE即可．
（2）如图2中，连接AE，作PF⊥BC交AC于F，先证明E、A、B共线，再证明△AEH≌△FPH，推出EH=PH即可解决问题．

解答 解：（1）①∵正方形ABCO的边长为a，
∴OC=CB=AB=OA=a，
∴点B坐标（a，a）．
故答案为a，a．

②如图1中，作NE⊥AB于E，NF⊥OA于F．则四边形NFAE是矩形．

∵∠CBM+∠ABN=90°，∠ABN+∠BAN=90°，
∴∠CBM=∠BAN，
在△CBM和△BAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠BAN}\\{∠CMB=∠ANB=90°}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△CBN≌△BAN，
∴CM=BN=1，
∴AN=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=2，
∵$\frac{1}{2}$•AN•BN=$\frac{1}{2}$•NE•AB，
∴EN=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=AF，
∴OF=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
AE=$\sqrt{A{N}^{2}-N{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴点N坐标（$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）．

（2）如图2中，连接AE，作PF⊥BC交AC于F．

∵∠EOP=∠AOC=90°，
∴∠EOA=∠COP，
在△AOE和△COP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOE=∠COP}\\{OE=OP}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COP，
∴∠EAO=∠OCP=90°，AE=CP，
∴E、A、B共线，
∵∠PCF=∠PFC=45°，
∴PF=PC=AE，
∵AE∥PF，
∴∠AEH=∠FPH，
在△AEH和△FPH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEH=∠FPH}\\{∠AHE=∠PHF}\\{AE=PF}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△FPH，
∴EH=HP，
∴OH=$\frac{1}{2}$EP，
当点P与C重合时，OH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
当点P与B重合时，OH=a，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$a＜OH＜a．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考压轴题．