Question

12．如图，边长为a的正六边形螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O点所经过的路径长为2πa．

Answer 1

分析 首先求得从B到B′时，圆心O的运动路线与点B运动的路线相同，即是弧BB′的长，又由正六边形的内角为120°，求得弧BB′的圆心角为60°，则问题得解．

解答 解：∵正六边形的内角为120°，

∴∠BAF=120°，
∴∠FAF′=60°，
∴∠BAB′=∠OAO′=60°，
∴$\widehat{OO′}$=$\widehat{BB′}$=$\frac{60×πa}{180}$=$\frac{1}{3}$πa，
∴六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O点所经过的路径长为$\frac{1}{3}$πa×6=2πa．
故答案为：2πa．

点评 此题考查了正六边形与弧长公式等知识．解此题的关键是抓住圆心O的运动路线相当于6个弧BB′的长．注意数形结合思想的应用．