Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且∠BCE=∠CAB，CE交AB的延长线于点E，AD⊥AB，交EC的延长线于点D．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若CE=3，BE=2，求CD的长．

Answer 1

分析：（1）因为C是圆O上的点，因此DE和圆的关系一定是相切或不相切，可连接OC，证OC是否垂直DE即可得出结论．根据等边对等角可得出∠CAB=∠OCA=∠BCE，由于∠ACB=90°，将相等的角进行置换即可得出∠OCE=90度．由此可得出DE与圆相切．
（2）本题的关键是求出EA的长，根据切割线定理EC²=EB•EA，可求出AE的长，由于AD⊥AB，那么AD也是圆的切线，根据切线长定理DA=DC，那么可用CD表示出AD，DE，根据勾股定理即可求出CD的长．

解答：解：（1）直线DE与⊙O相切；
证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO．
∵∠BCE=∠CAB，
∴∠BCE=∠ACO．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BCE+∠BCO=∠BCO+∠ACO=∠OCE=90°．
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵EC是圆O的切线，
∴CE²=BE•AE．
∵CE=3，BE=2，
∴AE=

9

2

．
∵AD⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴DA是⊙O的切线．
∴AD=CD．
∵AD²+AE²=DE²，
∴CD²+（

9

2

）²=（CD+3）²，
∴CD=

15

8

．

点评：本题主要考查了切线的性质，切割线定理，切线长定理，勾股定理等知识点的综合应用．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．