Question

如图，ABCD为正方形，E、F分别在BC、CD上，且△AEF为正三角形，四边形A′B′C′D′为△AEF的内接正方形，△A′E′F′为正方形A′B′C′D′的内接正三角形．
（1）试猜想

SA′B′C′D′

SABCD

与

S△A′E′F′

S△AEF

的大小关系，并证明你的结论；
（2）求

SA′B′C′D′

SABCD

的值．

Answer 1

分析：（1）由于所有的正方形都相似，所有的等边三角形也都相似，而相似三角形面积的比等于相似比的平方，所以只需比较

A′E′

AE

与

A′B′

AB

的大小．
（2）由于正△AEF既是正方形ABCD的内接正三角形，同时四边形A′B′C′D′又为△AEF的内接正方形，所以将AE作为中间量，求出A′B′：AB的值．

解答：解：（1）相等．
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都是轴对称图形，直线AC是它的公共对称轴，
∴△ABE≌△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
又∵∠BAE+∠DAF+∠EAF=90°，∠EAF=60°，
∴∠BAE=15°，
∴AE=

AB

cos15°

，
同理，A′E′=

A′B′

cos15°

，
∴

A′E′

AE

=

A′B′

AB

，
∵所有的正方形都相似，所有的等边三角形也都相似，而相似三角形面积的比等于相似比的平方，
∴

SA′B′C′D′

SABCD

=(

A′B′

AB

)2，

S△A′E′F′

S△AEF

=(

A′E′

AE

)2，
∴

SA′B′C′D′

SABCD

=

S△A′E′F′

S△AEF

；

（2）由（1）知△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，
设正方形ABCD的边长是a，等边三角形AEF边长为x，
∵CE²+CF²=x²，∴CE=

2

2

x，
∴BE=a-

2

2

x，
∵x²=（a-

2

2

x ）²+a²，
∴x²+2

2

ax-4a²=0，
舍去负根，得x=（

6

-

2

）a，
∴AE=（

6

-

2

）AB，
设正方形A′B′C′D′的边长是y，由于△A′B′E≌△D′C′F，
∴B′E=C′F=

1

2

（x-y），
在△A′B′E中，∠A′B′E=90°，∠B′A′E=30°，
∴B′E：A′B′=

1

2

（x-y）：y=tan30°=

3

：3，
∴y=（2

3

-3）x，
∴A′B′=（2

3

-3）AE，
∴

A′B′

AB

=

(2 3 -3)AE

AB

=

(2 3 -3)( 6 - 2 )AB

AB

=9

2

-5

6

，
∴

SA′B′C′D′

SABCD

=（9

2

-5

6

）²=312-180

3

．

点评：本题主要考查了正方形与等边三角形的性质的运用．