如图1.在△ABC中.AB=BC.P为底边BC上一点.PF⊥AB.PF⊥AC.CH⊥AB.垂足分别为E.F.H．(1)求证:PE+PF=CH．(2)如图2.P为BC延长线上的点时.其它条件不变.PE.PF.CH又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.不用证明．(3)若∠A=30°.△ABC的面积为81.点P在直线BC上.且P到直线AC的距离为PF.当PF=3时.点P到AB� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

17．如图1，在△ABC中，AB=BC，P为底边BC上一点，PF⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．

（1）求证：PE+PF=CH．
（2）如图2，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明．
（3）若∠A=30°，△ABC的面积为81，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，点P到AB边的距离PE=6或12．（直接写出答案即可）

分析（1）连接AP，根据等腰三角形的性质可表示出S_△ABC=S_△ABP+S_△ACP=$\frac{1}{2}$×AC×（PE+PF），同时可表示出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC×BH，从而可得到PE+PF=BH．
（2）连接AP．先根据三角形的面积公式分别表示出S_△ABP，S_△ACP，S_△ABC，再由S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC即可得出PE=PF+PH；
（3）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为81，求出CH=9，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH

解答解：（1）如图1，∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PE，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•PF，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH．
又∵S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AB•PE+$\frac{1}{2}$AC•PF=$\frac{1}{2}$AB•CH．
∵AB=AC，
∴PE+PF=CH．

（2）如图2，PE=PF+CH．证明如下：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PE，S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•PF，S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，
∵S_△ABP=S_△ACP+S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$AB•PE=$\frac{1}{2}$AC•PF+$\frac{1}{2}$AB•CH，
又∵AB=AC，
∴PE=PF+CH；

（3）∵在△ACH中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CH，AB=AC，
∴$\frac{1}{2}$×2CH•CH=81，
∴CH=9．
分两种情况：
①P为底边BC上一点，如图①．
∵PE+PF=CH，
∴PE=CH-PF=9-3=6；
②P为BC延长线上的点时，如图②．
∵PE=PF+CH，
∴PE=3+9=12．
∴PE=6或12．
故答案为：6或12．

点评此题是三角形综合题，主要考查等腰三角形的性质及三角形面积的综合运用，此题的关键是利用面积公式将所求联系在一起．难度适中，运用等面积法证明可使问题简便，（3）中分情况讨论是解题的关键．

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