Question

18．如图，二次函数Y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，则四边形OCDA的面积的最大值是8．

Answer 1

分析 根据解析式求得点A、C坐标，过点D作DH⊥x轴于点H，运用割补法即可得到：四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，据此列式计算化简就可求得S关于m的函数关系，配方成顶点式可得其最值情况．

解答 解：在y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2中，当x=0时，y=2，
∴C（0，2），
当y=0时，有-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2=0，解得：x=-4或x=1，
∴点A（-4，0）、B（1，0），

∵点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，
∴D（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），
过点D作DH⊥x轴于点H，则DH=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2，AH=m+4，HO=-m，
∵四边形OCDA的面积=△ADH的面积+四边形OCDH的面积，
∴S=$\frac{1}{2}$（m+4）×（-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2）+$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2+2）×（-m），
=-m²-4m+4
=-（m+2）²+8，（-4＜m＜0）；
则m=-2时，S取得最大值，最大值为8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识的综合应用，运用割补法列出面积的函数解析式及配方法是解决问题的关键．