Question

如图，已知：在△ABC中，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于E，过E作ED⊥BC于F，交AB的延长线于D．
求证：（1）AE=CE；
（2）DE是⊙O的切线．

Answer 1

证明：（1）连接BE．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∴BE⊥AC．
在△ABC中，
∵AB=CB，
∴AE=CE．

（2）连接OE．
∵AE=CE，OA=OB，
∴OE∥CB．
∵DE⊥CB，
∴OE⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
分析：（1）连接BE，则BE⊥AC．根据等腰三角形三线合一的性质可证；
（2）连接OE，只要证明OE⊥DE即可．根据三角形中位线定理可得．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定、三角形中位线定理等知识点．
要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．