Question

14．如图，在四边形ABCD中，AD=CD=8，AB=CB=6，点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若DA⊥AB，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AC、BD，交于点O，运用三角形中位线定理可证到四边形EFGH是平行四边形，要证四边形EFGH是矩形，只需证EF⊥FG，由于EF∥BD，FG∥AC，只需证DB⊥AC，只需运用线段垂直平分线性质定理的逆定理就可解决问题；
（2）要求矩形EFGH的面积，只需求出EF、FG的值，只需求出BD、AC，运用勾股定理就可求出BD，运用面积法就可求出AO，从而求出AC，问题得以解决．

解答 解：（1）连接AC、BD，交于点O，如图．
∵点E、F、G、H分别是DA、AB、BC、CD的中点，
∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，
EF=GH=$\frac{1}{2}$BD，EH=FG=$\frac{1}{2}$AC，
∴四边形EFGH是矩形．
∵AD=CD，AB=CB，
∴点D、B都在线段AC的垂直平分线上，
∴DB垂直平分AC，
∴DB⊥AC，OA=OC．
∵EF∥DB，
∴EF⊥AC．
∵FG∥AC，
∴EF⊥FG，
∴?EFGH是矩形；

（2）∵DA⊥AB，AD=8，AB=6，
∴DB=10．
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=5．
∵S_△BAD=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$BD•AO，
∴AO=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{48}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∴OC=$\frac{24}{5}$，AC=$\frac{48}{5}$，
∴FG=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{24}{5}$，
∴S_矩形EFGH=FG•EF=$\frac{24}{5}$×5=24．

点评 本题主要考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质、线段垂直平分线性质定理的逆定理、勾股定理等知识，运用线段垂直平分线性质定理的逆定理证到DB垂直平分AC是解决第（1）小题的关键．