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15.如图,AB,CD是⊙O的两条平行弦,MN是AB的垂直平分线,交⊙O于M,N,交AB,CD于E,F
(1)求证:MN垂直平分CD;
(2)连AC,BC若EN=1,AE=3,CD=7,求tan∠ABC的值.

分析 (1)AB,CD是⊙O的两条平行弦,MN是AB的垂直平分线,由此可知MN是圆O的直径,从而由垂径定理可知MN垂直平分CD
(2)连接OC、OB,AC与MN交于点G,设OB=OC=r,所以OE=r-1,根据勾股定理即可求出r的值,从而可求出OF的值,由于CD∥AB,所以△CFG∽△BEG,从而可求出$\frac{FG}{EG}$的值,最后求出GE的长度即可求出tan∠ABC的值.

解答 解:(1)∵MN是AB的垂直平分线,
∴MN是⊙O的直径,且∠MEB=90°,
∵CD∥AB,
∴∠MFD=∠MEB=90°,
∴由垂径定理可知:MN垂直平分CD.

(2)连接OC、OB,AC与MN交于点G,
设OB=OC=r,
∴OE=r-1,
在Rt△OBE中,
由勾股定理可知:r2=(r-1)2+32
∴解得:r=5,
由垂径定理可知:CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{7}{2}$,
在Rt△CFO中,
∴由勾股定理可知:OC2=CF2+FO2
∴FO=$\frac{\sqrt{51}}{2}$,
∴EF=EO+FO=4+$\frac{\sqrt{51}}{2}$,
∵CD∥AB,
∴△CFG∽△BEG,
∴$\frac{CF}{BE}=\frac{FG}{GE}$,
∴$\frac{FG}{GE}$=$\frac{7}{6}$,
∴GE=$\frac{6}{13}$EF,
∴tan∠ABC=$\frac{GE}{BE}$=$\frac{3}{13}$(4+$\frac{\sqrt{51}}{2}$)

点评 本题考查圆的综合问题,涉及勾股定理,垂径定理,相似三角形的判定与性质,解方程等知识,综合程度较高,属于中等题型.

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