Question

16．已知抛物线的顶点坐标为（1，9），与x轴两个交点间的距离为6．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与直线y=x+2的交点坐标；
（3）当x为和值时，（2）中二次函数的值小于一次函数的值？

Answer 1

分析 （1）由题意设抛物线解析式为y=a（x-1）²+9，整理后，令y=0得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x₁+x₂与x₁x₂，利用二次根式性质及完全平方公式表示出抛物线与x轴两个交点间的距离，根据距离为6列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出解析式．
（2）联立方程组求得交点坐标；
（3）依题意列出不等式，解不等式即可．

解答 解：由题意设抛物线解析式为y=a（x-1）²+9，
整理得：y=ax²-2ax+a+9，
令y=0，得到ax²-2ax+a+9=0，
设x₁，x₂为方程的解，利用根与系数关系得：x₁+x₂=2，x₁x₂=$\frac{a+9}{a}$，
∵抛物线与x轴两个交点间的距离为8，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{4-\frac{4a+36}{a}}$=6，
解得：a=-1，
则抛物线解析式为y=-（x-1）²+9；

（2）依题意得$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-1）^{2}+9}\\{y=x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=3}\\{{y}_{1}=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$．
所以抛物线与直线y=x+2的交点坐标是（3，5）和（-2，0）；

（3）依题意得-（x-1）²+9＜x+2，
解得-2＜x＜3．
即当-2＜x＜3时，（2）中二次函数的值小于一次函数的值．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．