Question

27、情境观察
将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图2所示．
观察图2可知：与BC相等的线段是

AD

，∠CAC′=

90

°．

问题探究
如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展延伸
如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H．若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D，即可解题；
②易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；
③过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据全等三角形的判定和性质即可解题．

解答：解：①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D，即BC=AD，∠C′AD=∠ACB，
∴∠CAC′=180°-∠C′AD-∠CAB=90°；
故答案为：AD，90．

②∵∠FAQ+∠CAG=90°，∠FAQ+∠AFQ=90°，
∴∠AFQ=∠CAG，同理∠ACG=∠FAQ，
又∵AF=AC，
∴△AFQ≌△CAG，
∴FQ=AG，
同理EP=AG，
∴FQ=EP．

③HE=HF．
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．
∵四边形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°．AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP．
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴AG：EP=AB：EA．
同理△ACG∽△FAQ，
∴AG：FQ=AC：FA．
∵AB=k•AE，AC=k•AF，
∴AB：EA=AC：FA=k，
∴AG：EP=AG：FQ．
∴EP=FQ．
∵∠EHP=∠FHQ，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH．
∴HE=HF．

点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△AFQ≌△CAG是解题的关键．