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如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD为AB边的中线,以D为公共端点的两条互相垂直的射线分别与AC、BC交于点E、F,分别过点E、F作AB的垂线,垂足为G、H.
(1)求证:①DE=DF;②EG+FH=AC.
(2)当∠EDF绕D点旋转到图2、图3这两种位置时,探索②中的等量关系是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,线段EG、FH、AC之间又有怎样的数量关系?写出你的猜想(不需证明).

【答案】分析:(1)①可通过证明△CDE≌△BDF,根据全等三角形的对应边相等解答;②△AEG和△BHF均为等腰直角三角形,可得GE=HD,GD=HF,易证△DEG≌△FDH,可得EG=DH,FH=DG,则可得EG+FH=DH+DG=AG+BH=AB=AC.
(2)图2中,可证明△EDG≌△DFH(AAS),则EG=DH,DG=FH,又△AGE是等腰三角形,则EG-FH=AG-DG=AB=AC;图3同理可得,FH-GE=BH-DH=AB=AC.
解答:证明:(1)①∵在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD为AB上的中线,
∴CD=BD,∠DCE=∠B=45°,∠CDB=90°,
∵∠EDF=90°,
∴∠CDE+∠CDF=∠BDF+∠CDF=90°,
∴∠CDE=∠BDF,
在△CDE和△BDF中,

∴△CDE≌△BDF,
∴DE=DF.

②∵EG⊥AB,FH⊥AB,
∴∠EGD=∠DHF=90°,∠DEG+∠EDG=90°,
∴△AEG和△BHF均为等腰直角三角形,
又∵∠EDF=90°,
∴∠EDG+∠FDH=90°,
∴∠DEG=∠FDH,
在△DEG和△FDH中,

∴△DEG≌△FDH,
∴EG=DH,FH=DG,
∴EG+FH=DH+DG=AG+BH=AB=AC.

(2)均不成立.
①当∠EDF绕D点旋转到图2位置时,EG-FH=AC.
证明:∵EG⊥AB,FH⊥AB,
∴∠EGD=∠DHF=90°,∠DEG+∠EDG=90°,
∴△AEG和△BHF均为等腰直角三角形,
又∵∠EDF=90°,
∴∠EDG+∠FDH=90°,
∴∠DEG=∠FDH,
在△DEG和△FDH中,

∴△DEG≌△FDH,
∴EG=DH,FH=DG,
∴EG-FH=AG-DG=AB=AC.

②当∠EDF绕D点旋转到图3位置时,FH-EG=AC.
证明:∵EG⊥AB,FH⊥AB,
∴∠EGD=∠DHF=90°,∠DEG+∠EDG=90°,
∴△AEG和△BHF均为等腰直角三角形,
又∵∠EDF=90°,
∴∠EDG+∠FDH=90°,
∴∠DEG=∠FDH,
在△DEG和△FDH中,

∴△DEG≌△FDH,
∴EG=DH,FH=DG,
∴FH-GE=BH-DH=AB=AC.
点评:本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及旋转的性质,锻炼培养了学生的抽象思维能力、想象探究能力.
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PE
CE
=
1
2

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如图1,AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线,点D是垂足,点E是BC的中点,规定:λA=
DE
BD
.如图2,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,λC=
1
3
1
3

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如图1,在△ABC中,∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O.
(1)求证:∠AOC=90°+
12
∠ABC;
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