Question

1．如图，在直角坐标系，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（3，1），将矩形沿对角线BO翻折，C点落在D点的位置，且BD交x轴于点E．那么点D的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

Answer 1

分析 根据折叠可知：BD=BC=OA=3，∠ODE=∠OAB=∠OCB=90°，OD=OC=AB=1，由AAS证明△ODE≌△BAE，得出DE=AE，OE=BE，设AE=x，那么OE=3-x，DE=x，在Rt△ODE中，由勾股定理得出方程，解方程求出OE=$\frac{5}{3}$，DE=$\frac{4}{3}$，证明△ODF∽△DOE，得出对应边成比例求出OF=$\frac{4}{5}$，DF=$\frac{3}{5}$，即可得出点D的坐标．

解答 解：如图，过D作DF⊥OC于F，
∵点B的坐标为（3，1），
∴BC=AO=3，AB=OC=1，
根据折叠可知：BD=BC=OA=3，∠ODE=∠OAB=∠OCB=90°，OD=OC=AB=1，
在△ODE和△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ODE=∠BAE}&{\;}\\{∠OED=∠BEA}&{\;}\\{OD=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△BAE（AAS），
∴DE=AE，OE=BE，
设AE=x，那么OE=3-x，DE=x，
∴在Rt△ODE中，OE²=DE²+OD²，
∴（3-x）²=x²+1²，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
∴OE=$\frac{5}{3}$，DE=$\frac{4}{3}$，
又∵DF⊥OC，
∴DF∥EO，
∴∠ODF=∠EOD，
∵∠DFO=∠ODE=90°，
∴△ODF∽△DOE，∴$\frac{OF}{DE}=\frac{DF}{OD}=\frac{OD}{OE}$=$\frac{1}{\frac{5}{3}}$=$\frac{3}{5}$
∴OF=$\frac{4}{5}$，DF=$\frac{3}{5}$，
∴点D的坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

点评 此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．