Question

19．在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，BC边上高AD=8，P为BC边上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
（1）求S_△ABC；
（2）若点P为BC边上任意一点．你能求出PE+PF的值吗？若能，请求出；若不能．请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面积公式直接求得结果；
（2）根据已知，过P作PG⊥BH于G，可得矩形PGDF，所以PF=GH①，再由矩形PGHF得PG∥AC，又由AB=AC得∠ABC=∠C，所以∠BPG=∠ABC，再∵∠PEB=∠BGP=90°，BP=PB，则△BPE≌△PBG，所以得PE=BG②，①+②得出PF+PE=BH．

解答 解：（1）依题意得：S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×12×8=48；

（2）过点P作PH⊥AC于H，过P作PG⊥BH于G，
则BH=$\frac{48×2}{AC}$=$\frac{96}{10}$=9.6．
∵BH⊥AC，PF⊥AC，
∴PG∥HF，GH∥PF（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴四边形PGHF是平行四边形（两条对边互相平行的四边形是平行四边形）；
又∵∠GHF=90°，
∴四边形PGHF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），
∴PF=GH（矩形的对边相等）①，
∵四边形PGHF是矩形，
∴PG∥GF，即PG∥AC，
∴∠BPG=∠C（两条直线平行，同位角相等），
又∵AB=AC（已知），
∴∠ABC=∠C（等腰三角形的两底角相等），
∴∠BPG=∠ABC（等量代换）．
∵∠PEB=∠BGP=90°（已证），BP=PB，
∴△BPE≌△PBG（AAS），
∴PE=BG②，
①+②：PE+PF=BG+GH，
即PE+PF=BH=9.6

点评 此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，关键是作辅助线证矩形PGHF，再证△BPE≌△PBG．