Question

2．在△ABC中，AB=4，BC=3，∠BAC=30°，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 分两种情况：过点B或C作AC或AB上的高，由勾股定理可得出三角形的底和高，再求面积即可．

解答 解：当∠B为钝角时，如图1，
过点B作BD⊥AC，
∵∠BAC=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=4，
∴BD=2，
∴AD=2$\sqrt{3}$，
∵BC=3，
∴CD=$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$）×2=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$；
当∠C为钝角时，如图2，
过点B作BD⊥AC，交AC延长线于点D，
∵∠BAC=30°，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=4，
∴BD=2，
∵BC=3，
∴CD=$\sqrt{5}$，
∴AD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$）×2=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{5}$

点评 本题考查了解直角三角形，还涉及到的知识点有勾股定理、直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．