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【题目】如图,抛物线y=x2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC,把ABC沿x轴向右平移得到A′B′C′,AB边上的点O平移到点O′.

(1)求点B、C的坐标及抛物线的对称轴;

(2)在平移的过程中,设点B关于直线A′C′的对称点为点F,当点F落在直线AC上时,求ABC平移的距离;

(3)在平移过程中,连接CA′,CO′,求A′CO′周长的最小值.

【答案】(1)B(1,0),C(0,3);对称轴是直线x=﹣

(2)ABC平移的距离为

(3)A′CO′周长的最小值为4+2

【解析】

试题分析:(1)通过加方程x2x+3=0可得A点和B点坐标,再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标,然后利用对称性可确定抛物线的对称轴;

(2)根据轴对称的性质对称BM=FM,由平移的定义可知A′MAC,根据平行线分线段成比例定理即可证得AA′=BA′=,从而求得平移的距离为

(3)过A点作ANx轴,且AN=OC,易证得NAA′≌△COO′,得出A′N=CO′,根据两点之间线段最短,当A′CO′周长的最小时,A′在直线NC上,即AA′N=CA′O,即可根据AAS证得NAA′≌△COA′,得出AA′=OA′,NA′=NA′,然后根据勾股定理求得CA′=,即可求得三角形周长的最小值.

试题解析:(1)当y=0时, x2x+3=0,解得x1=1,x2=﹣4,则A(﹣4,0),B(1,0),

当x=0时,y=x2x+3=3,则C(0,3);

抛物线的对称轴是直线x==﹣

(2)点B和点F关于直线A′C′的对称,BM=FM,由平移的定义可知A′MAC,

==1,AA′=BA′=AB,A(﹣4,0),B(1,0),AB=5,

AA′=BA′=∴△ABC平移的距离为

(3)过A点作ANx轴,且AN=OC,

∴∠NAA′=COO′=90°,

NAA′和COO′中,

∴△NAA′≌△COO′(ASA),

A′N=CO′,

A′CO′周长的最小时,A′在直线NC上,

AA′N=CA′O,

NAA′和COA′中,

∴△NAA′≌△COA′(AAS),

AA′=OA′,NA′=NA′,

CA′=CO′,

OA=4,

AA′=OA′=2,

OO′=2,

A′O′=4,

OC=3,

CA′==

∴△A′CO′周长的最小值为4+2

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