Question

（本题12分）如图甲，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O.

小题1:（1）在图甲中，你发现线段AC、BD的数量关系是_______，直线AC、BD相交成____度角；
小题2:（2）将图甲中的绕点O顺时针旋转，在图乙中作出旋转后的；
小题3:（3）将图甲中的绕点O顺时针旋转一个锐角，得到图丙，这时（1）中的两个结论是否成立？作出判断，并说明理由.若绕点O继续旋转更大的角度时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由.

Answer 1

小题1:（1）AC=BD，
小题2:（2）略
小题3:（3）成立，证明略.结论仍然成立

分析：（1）的结论容易得到，AC=BD，AC与BD相交成90°的角；
（2）△OAB绕点O顺时针旋转90°角应该在△COD的右边；
（3）结论仍然成立，利用等腰直角三角形的性质可以得到全等条件证明△COA≌△DOB，然后利用全等三角形的性质可以证明结论仍然成立。
解答：
（1）在图1中，线段AC，BD的数量关系是相等，直线AC，BD相交成90度角；
（2）如图（a）[A，B字母位置互换扣分，无弧扣分，不连接AB扣分]

（3）成立，如右图
∵∠COD=∠AOB=90°，
∴∠COA+∠AOD=∠AOD+∠DOB，
即：∠COA=∠DOB（或由旋转得∠COA=∠DOB），
∵CO=OD，OA=OB，
∴△COA≌△DOB，
∴AC=BD，
延长CA交OD于E，交BD于F，（下面的证法较多）
∵△COA≌△DOB，
∴∠ACO=∠ODB，
∵∠CEO=∠DEF，
∴∠COE=∠EFD=90°，
∴AC⊥BD。
旋转更大角时，结论仍然成立。
点评：本题考查了图形的旋转变化，学生要看清是顺时针还是逆时针旋转，然后画出图形，利用图形的性质通过证明三角形全等就可以解决问题。