Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．

（1）试求sin∠MCH的值；
（2）问△MCH与△MBC是否相似？请说明理由；
（3）连结AH，求证：∠AHM=45°．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设AC=BC=2a，

∵M是边AC的中点，

∴CM=AM=a，

∴BM= = = a．

∵∠ACB=90°，CH⊥BM于H，

∴∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°，

∴∠MCH=∠MBC，

∴sin∠MCH=sin∠MBC= = = ；

（2）

解：△MCH∽△MBC．

理由：∵CH⊥BM于H，

∴∠MHC=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠MCB=∠MHC=90°．

∵∠BMC是公共角，

∴△MCH∽△MBC；

（3）

证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠BAM=45°．

∵由（2）知，△MCH∽△MBC，

∴ = ．

∵M是边AC的中点，

∴CM=AM，

∴ = ．

∵∠AMH为公共角，

∴△AMH∽△BMA，

∴∠AHM=∠BAM=45°．

【解析】（1）设AC=BC=2a，由M是边AC的中点得出CM=AM=a，根据勾股定理求出BM的长，再由∠CMH+∠MCH=90°，∠CMH+∠MBC=90°可得出∠MCH=∠MBC，进而可得出结论；（2）根据CH⊥BM于H，∠ACB=90°可得出∠MCB=∠MHC=90°，由∠BMC是公共角即可得出结论；（3）由（2）可知，△MCH∽△MBC，故 = ，再由CM=AM可知 = ，根据∠AMH为公共角可得出△AMH∽△BMA，故可得出结论．
【考点精析】掌握相似三角形的应用是解答本题的根本，需要知道测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．