如图.矩形OABC的两边OA.OC分别在x轴和y轴的正半轴上.点B的坐标为.点D在CB上.且CD:DB=2:1.OB交AD于点E．平行于x轴的直线l从原点O出发.以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上平移.到C点时停止,l与线段OB.AD分别相交与M.N两点.以MN为边作等边△MNP．设直线l的运动时间为t(秒).△MNP与△OAB重叠部分的面积为S．(1)直接写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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12．如图，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为（4$\sqrt{3}$，4），点D在CB上，且CD：DB=2：1，OB交AD于点E．平行于x轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上平移，到C点时停止；l与线段OB，AD分别相交与M，N两点，以MN为边作等边△MNP（点P在线段MN的下方）．设直线l的运动时间为t（秒），△MNP与△OAB重叠部分的面积为S（平分单位）．
（1）直接写出点E的坐标；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使得S=$\frac{1}{2}$S_△ABD成立？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）作辅助线，利用平行相似，得△BDE∽△OAE，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出EH的长，即点E的纵坐标；再根据勾股定理和30°角求OH，即点E的横坐标，则E（3$\sqrt{3}$，3）；
（2）先计算点P在x轴上时t=2，直线过点E时，t=3；
分三种情况讨论：①当0≤t＜2时，如图3，△MNP与△OAB重叠部分的面积为梯形的面积；
②当2≤t≤3时，如图4，△MNP与△OAB重叠部分的面积为△PMN的面积；
③当3＜t≤4时，如图5，△MNP与△OAB重叠部分的面积为△PMN的面积的一半；
（3）存在，因为S_△ABD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，根据（2）计算的S的值代入到S=$\frac{1}{2}$S_△ABD分别列方程，解出即可．

解答解（1）如图1，过E作GH⊥OA，交BC于G，交OA于H，则GH⊥BC，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，BC=OA，
∵B（4$\sqrt{3}$，4），
∴OA=4$\sqrt{3}$，AB=GH=4，
由勾股定理得：OB=$\sqrt{{4}^{2}+（4\sqrt{3}）^{2}}$=8，
∴∠EOA=30°，
∵BC∥OA，
∴△BDE∽△OAE，
∴$\frac{BD}{OA}=\frac{EG}{EH}$，
∵CD：DB=2：1，
∴$\frac{BD}{OA}=\frac{EG}{EH}$=$\frac{1}{3}$，
∴EH=3，
∴OE=2EH=6，
∴OH=$\sqrt{{6}^{2}-{3}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴E（3$\sqrt{3}$，3）；
（2）如图1，在矩形OABC中，
∵点B的坐标为（4$\sqrt{3}$，4），且CD：DB=2：1，
∴A（4$\sqrt{3}$，0），D（$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，4），
可得直线OB的解析式为：y₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
直线AD的解析式为：y₂=-$\sqrt{3}$x+12，
当y₁=y₂=t时，可得点M、N的横坐标分别为：
x_M=$\sqrt{3}$t，x_N=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
则MN=|x_M-x_N|=|4$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t|，
当点P运动到x轴时，如图2，
∵△MNP是等边三角形，
∴MN•sin60°=t，解得t=2；
当t=3时，M、N、P三点重合，S=0；
讨论：①当0≤t＜2时，如图3，设PM、PN分别交x轴于点F、G，
则△PFG的高为MN•sin60°-t=6-3t，
∴△PFG的边长为$\frac{6-3t}{sin60°}$=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t，
∵MN=x_N-x_M=4$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t，
∴S=S_梯形FGNM，
=$\frac{1}{2}$t（4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$t+4$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t），
=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$t²+4$\sqrt{3}$t，
②当2≤t≤3时，如图4，
此时等边△MNP整体落在△OAB内，
则△PMN的高为MN•sin60°=6-2t，
∵MN=x_N-x_M=4$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t，
∴S=S_△MNP
=$\frac{1}{2}$（6-2t）（4$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t）
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$-8$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$，
③当3＜t≤4时，如图5，
在Rt△OAB中，∠AOB=30°，
∴∠NME=30°，
∴等边△NMP关于直线OB对称，
∵MN=|x_N-x_M|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t-4$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$S_△MNP
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（2t-6）（-4$\sqrt{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t）
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$-4$\sqrt{3}$t+6$\sqrt{3}$，
综上所述：①当0≤t＜2时，S=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$t²+4$\sqrt{3}$t，
②当2≤t≤3时，S=$\frac{4\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$-8$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$，
③当3＜t≤4时，S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$-4$\sqrt{3}$t+6$\sqrt{3}$，
④当t=3时，S=0；
（3）存在t的值，使S=$\frac{1}{2}$S_△ABD成立，
∵S_△ABD=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，若S=$\frac{1}{2}$S△ABD成立，则：
①当0≤t＜2时，由-$\frac{5\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$+4$\sqrt{3}$t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得：t₁=2（舍去），t₂=$\frac{2}{5}$，
②当2≤t≤3时，由$\frac{4\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$-8$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
解得：t₁=2，t₂=4（舍去），
③当3＜t≤4时，由$\frac{2\sqrt{3}}{3}{t}^{2}$-4$\sqrt{3}$t+6$\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
t₁=3+$\sqrt{2}$＞4（舍），t₂=3-$\sqrt{2}$＜3（舍），
∴符合条件的t有：2或$\frac{2}{5}$．

点评本题是四边形的综合题，考查了矩形、等边三角形、解直角三角形、相似三角形等图形的性质，计算量比较大；同时也是运动型问题，求直线运动后构成的图形面积，采用了分类讨论的思想，综合性较强；解题关键是深刻理解动直线的行动轨迹，明确等边△MNP的大小和位置．

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