Question

已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证；

（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；

（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出的值．

Answer 1

（1）根据矩形的性质可得∠A＝∠ADC＝90°，由DE⊥CF可得∠ADE＝∠DCF，即可证得△ADE∽△DCF，从而证得结论；（2）当∠B+∠EGC＝180°时；（3）．

解析试题分析：（1）根据矩形的性质可得∠A＝∠ADC＝90°，由DE⊥CF可得∠ADE＝∠DCF，即可证得△ADE∽△DCF，从而证得结论；
（2）在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．根据平行线的性质可得∠A＝∠CDM，再结合∠B+∠EGC＝180°，可得∠AED＝∠FCB，即可证得△ADE∽△DCM，从而证得结论；
（3）根据相似三角形的性质结合图形特征求解即可.
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，
∵DE⊥CF，
∴∠ADE＝∠DCF，
∴△ADE∽△DCF，
∴；
（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立，证明如下：
在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．

∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDM，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，
∴∠CMF＝∠AED．
∴△ADE∽△DCM，
∴，即；
（3）．
考点：相似三角形的综合题
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.