Question

已知方程2x²-3x-4=0，不解方程求下列各式的值．
（1）

1

x1

+

1

x2

=

 

；
（2）x₁²+x₂²=

 

；
（3）x₁³+x₂³=

99

8

；
（4）

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

 

；
（5）（x₁+x₂）³-（x₁³+x₂³）=

 

；
（6）x₁-x₂=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据根与系数的关系进行变形即可．
（2）根据根与系数的关系及完全平方公式进行变形即可解答．
（3）根据根与系数的关系及立方和公式进行变形即可解答．
（4）根据根与系数的关系及完全平方公式进行变形即可解答．
（5）根据根与系数的关系及立方和与立方差公式进行变形即可解答．
（6）根据根与系数的关系及完全平方公式进行变形即可解答．

解答：解：∵方程2x²-3x-4=0，∴x1+x2=

3

2

，x1x2=-2，
（1）

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

3 2

-2

=-

3

4

；
（2）

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x2)2-2x1x2=(

3

2

)2+2×2=

25

4

；
（3）x₁³+x₂³=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）=(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]=

3

2

[(

3

2

)2+3×2]=

99

8

；
（4）

1

x 2 1

+

1

x 2 2

=

x 2 1 + x 2 2

x 2 1 x 2 2

=

(x1+x2)2-2x1x2

(x1x2)2

=

- 7 4

(-2)2

=-

7

16

；
（5）（x₁+x₂）³-（x₁³-x₂³）=（x₁+x₂）³（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）=（x₁+x₂）（x₁²-2x₁x₂+x₂²-x₁²+x₁x₂-x₂²）=3x₁x₂（x₁+x₂）=3×(-2)×

3

2

=-9；
（6）∵（x₁²-x₂²）²=x₁²-2x₁x₂+x₂²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=(

3

2

)2+4×2=

41

4

∴x1-x2=

± 41

2

；

点评：本题考查了根与系数的关系及完全平方公式，属于基础题，关键是将根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．