Question

4．如图，AB，BC为⊙O的弦，D为$\widehat{AC}$的中点，DE⊥BC于E，求证：AB+CE=BE．

Answer 1

分析 作DF⊥BA交BA的延长线于F，连接AD，CD，由 D为$\widehat{AC}$的中点，得到$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，于是得到 DA=DC，∠ABD=∠CBD，由角平分线的性质定理得到DF=DE，推出 Rt△BDF≌Rt△BCD，得到 BF=BE，求得Rt△FAD≌RtECD，即可得到结论．

解答 解：作DF⊥BA交BA的延长线于F，
连接AD，CD，
∵D为$\widehat{AC}$的中点，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CD}$，
∴DA=DC，∠ABD=∠CBD，
∵DE⊥BC，
∴DF=DE，
在Rt△BDF与Rt△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=DE}\\{BD=BD}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDF≌Rt△BCD，
∴BF=BE，
在Rt△ADF与Rt△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{DF=DE}\\{AD=DC}\end{array}\right.$
∴Rt△FAD≌RtECD，
∴FA=EC
∴BE=BF=AB+AF=AB+CE．

点评 本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．