Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A = 90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．
（1）若BD是AC的中线，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，求的值；
（3）结合（1）、（2），试推断的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究的
值能小于吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由

Answer 1

解法1 设AB =" AC" = 1，CD = x，则0＜x＜1，BC =，AD = 1－x．
在Rt△ABD中，BD² = AB² + AD² =" 1" +（1－x）² = x²－2x + 2．
由已知可得 Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴，即，从而，
∴，0＜x＜1，
（1）若BD是AC的中线，则CD =" AD" =" x" =，得．
（2）若BD是∠ABC的角平分线，则，得，解得，
∴．
（3）若，则有 3x²－10x + 6 = 0，解得∈（0，1），
∴，表明随着点D从A向C移动时，BD逐渐增大，而CE逐渐减小，的值则随着D从A向C移动而逐渐增大．
解法2 设AB =" AC" = 1，∠ABD = a，则 BC =，∠CBE = 45°－a．
在Rt△ABD中，有；
在Rt△BCE中，有 CE =" BC·" sin∠CBE =sin（45°－a）．
因此．下略……
解法3 （1）∵∠A =∠E = 90°，∠ADB =∠CDE，∴△ADB∽△EDC，∴．
由于D是中点，且AB = AC，知AB =" 2" AD，于是 CE =" 2" DE．
在Rt△ADB中，BD =．
在Rt△CDE中，由 CE² + DE² = CD²，有 CE² +CE² = CD²，于是．
而 AD = CD，所以．
（2）如图，延长CE、BA相交于点F．∵BE是∠ABC的平分线，且BE⊥CF，∴△CBE≌△FBE，得 CE = EF，于是CF =" 2" CE．又∠ABD +∠ADB =∠CDE +∠FCA = 90°，且∠ADB =∠CDE，
∴∠ABD =∠FCA，进而有△ABD≌△ACF，得 BD =" 2" CE，．
（3）的值的取值范围为≥1．下略……解析:
略