如图，Rt△ADE可由Rt△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，点B、C的坐标分别为（3，0），（1，4）．
（1）写出点E的坐标，并利用尺规作图直接在图中作出旋转中心Q（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求直线AE对应的函数关系式；
（3）将△ADE沿垂直于x轴的线段PT折叠，（点T在x轴上，点P在AE上，P与A、E不重合）如图，使点A落在x轴上，点A的对应点为点F．设点T的坐标为（x，0），△PTF与△ADE重叠部分的面积为S．
①试求出S与x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）；
②当x为何值时，S的面积最大？最大值是多少？
③是否存在这样的点T，使得△PEF为直角三角形？若存在，直接写出点T的坐标；若不存在，请说有理由．

解：（1）∵Rt△ADE可由Rt△CAB旋转而成，点B的对应点是E，点A的对应点是D，
∴△ADE≌△CAB，
∴AD=CA=4，DE=AB=2，
∴OD=OA+AD=1+4=5，
∴E点坐标为（5，2）．
连接BE，作出线段AD与线段BE的垂直平分线，它们的交点即为Q；

（2）设直线AE对应的函数关系式为y=kx+b，
∵A（1，0），E（5，2），
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线AE对应的函数关系式为y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；

（3）①分两种情况：
（i）当点F在AD之间时，重叠部分是△PTF，如图．
∵点P在AE：y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ 上，PT⊥x轴，点T的坐标为（x，0），
∴PT= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ．
∵OT=x，OA=1，
∴AT=OT-OA=x-1，
∴TF=AT=x-1．
∵S_△PTF= $\text{[math]}$ TF•PT= $\text{[math]}$ AT•PT= $\text{[math]}$ （x-1）•（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （x-1）²，
∴S= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ．
∵当F与D重合时，AT= $\text{[math]}$ AD=2，
∴1＜x≤3；

（ii）当点F在点D的右边时，重叠部分是梯形PTDH．
∵∠DFH=∠DAE，∠FDH=∠ADE=90°，
∴△FDH∽△ADE，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴HD= $\text{[math]}$ DF= $\text{[math]}$ [2（x-1）-4]=x-3，
∴S_梯形PTDH= $\text{[math]}$ （PT+HD）•TD= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ +x-3）•（5-x）=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
当T与D重合时，点F的坐标是（9，0），
∴3＜x＜5．
综上所述，S= $\text{[math]}$ ；

②（i）当1＜x≤3时，∵S= $\text{[math]}$ （x-1）²，
∴S随x的增大而增大，
∴当x=3时，S有取大值，且最大值是S= $\text{[math]}$ （3-1）²=1；
（ii）当3＜x＜5时，∵S=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴当x= $\text{[math]}$ 时，S有最大值，且最大值是 $\text{[math]}$ ；
综上所述，当x= $\text{[math]}$ 时，S有最大值，且最大值是S= $\text{[math]}$ ；

③存在这样的点T（ $\text{[math]}$ ，0）和（ $\text{[math]}$ ，0），能够使得△PEF为直角三角形．
分两种情况：
（i）当△PFE以点E为直角顶点时，如图，作EF⊥AE交x轴于F．
∵△AED∽△EFD，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴DF= $\text{[math]}$ DE=1，
∴点F（6，0），
∴点T（ $\text{[math]}$ ，0）；

（ii）当△P′F′E以点F′为直角顶点时，如图．
∵△AED∽△EF′D，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DF′= $\text{[math]}$ DE=1，
∴点F′（4，0），
∴点T（ $\text{[math]}$ ，0）．
综上（i）、（ii）知，满足条件的点T坐标为（ $\text{[math]}$ ，0）和（ $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）根据旋转前、后的图形全等，可知△ABC≌△DEA，则AB=DE=2，AC=DA=4，由此求出点E的坐标；根据对应点到旋转中心的距离相等可知旋转中心Q既在线段AD的垂直平分线上，又在线段BE的垂直平分线上，为此，作出线段AD与线段BE的垂直平分线，它们的交点即为Q；
（2）设直线AE的函数关系式为y=kx+b，将A、E两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出；
（3）①分两种情况：（i）当点F在AD之间时，1＜x≤3，重叠部分是△PTF，由S_△PTF= $\text{[math]}$ TF•PT= $\text{[math]}$ AT•PT，可求出S与x之间的函数关系式；（ii）当点F在点D的右边时，3＜x＜5，重叠部分是梯形PTDH，由S_梯形PTDH= $\text{[math]}$ （PT+HD）•TD，可求出S与x之间的函数关系式；
②分两种情况：（i）1＜x≤3；（ii）3＜x＜5，由①中所求的S与x之间的二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合自变量的取值范围，即可求解；
③由于tan∠EAD= $\text{[math]}$ ，所以∠EAD≠45°，∠APT≠45°，∠APF≠90°，则∠EPF≠90°，当△PEF为直角三角形时，分两种情况进行讨论：（i）当△PFE以点E为直角顶点时，作EF⊥AE交x轴于F，由△AED∽△EFD，根据相似三角形对应边的边相等列出比例式，即可求解；（ii）当△P′F′E以点F′为直角顶点时，由△AED∽△EF′D，根据相似三角形对应边的边相等列出比例式，即可求解．
点评：本题考查了旋转的性质，线段垂直平分线的画法，运用待定系数法求一次函数的解析式，图形面积的求法，二次函数的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．

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（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠

．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌

．
∴

=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=

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（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=

∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

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科目：初中数学 来源：2012-2013学年江苏省盐城市建湖县近湖中学九年级（上）数学周练作业（4）（解析版） 题型：解答题