Question

【题目】定义：两条长度相等，且它们所在的直线互相垂直的线段，我们称其互为“等垂线段”．

知识应用：在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE<AC， ∠ACB=∠AED=90°，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．

（1）如图1，当AE在线段AC上时，线段PC与线段PE是否互为“等垂线段”？请说明理由．

（2）如图2，将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转90°，点D落在AB边上，请说明线段PC与线段PE互为“等垂线段”．

拓展延伸：（3）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转150°，若BC=3，DE=1，求PC的值．

Answer 1

【答案】（1）线段PC与线段PE互为“等垂线段”，理由见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）延长EP交BC于点F，首先证明，则有PF=PE=EF，BF=DE，然后证明△EFC是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质即可证明线段PC与线段PE互为“等垂线段”；

（2）作BF//DE，交EP的延长线于点F，连接CE，CF，首先证明，则有BF= DE， PE=PF=EF，然后利用平行线的性质得出∠CBF=∠CAE，进而可证，则有CF=CE，∠FCB=∠ECA，从而得出△FCE是等腰直角三角形，则结论可证；

（3）作BF//DE，交EP的延长线于点F，连接CE，CF，过点E作EH⊥AC交CA的延长线于点H，首先证明，则有BF= DE， PE=PF=EF，然后可证，则有CF=CE，∠FCB=∠ECA，从而得出△FCE是等腰直角三角形，则PC=PE=EC，然后在RtAHE中，求出HE,AH的长度，进而求出CH的长度，然后在RtCEH中，由勾股定理求出EC的长度，则PC的长度可求 ．

解：(1)线段PC与线段PE互为“等垂线段”．

理由：如图1，延长EP交BC于点F．

∵∠ACB=∠AED=90°，

∴DEBC，

∴∠EDP=∠FBP．

∵点P是线段BD的中点，

∴PB=PD．

在和中，

∴PF=PE=EF，BF=DE．

∵AC=BC，AE=DE，

∴AC﹣AE=BC﹣BF，即EC=FC．

又∵∠ACB=90°，

∴△EFC是等腰直角三角形．

∵EP=FP，

∴PC=PE，PC⊥PE，

∴线段PC与线段PE互为“等垂线段”；

（2）如图2，作BF//DE，交EP的延长线于点F，连接CE，CF，

∵DEBF，

∴∠EDP=∠FBP．

∵点P是线段BD的中点，

∴PB=PD．

在和中，

∴BF= DE， PE=PF=EF．

∵DE=AE，

∴BF=AE．

∵∠CAE=90°，∠AED=90°，

∴EDAC．

，

∴FBAC，

∴，

∴∠CBF=∠CAE．

在和中，

∴CF=CE，∠FCB=∠ECA．

∵∠ACB=90°，

∴∠FCE=90°，

∴△FCE是等腰直角三角形．

∵PE=PF，

∴PC⊥PE，PC=PE，

∴线段PC与线段PE互为“等垂线段”；

(3)如图3

作BF//DE，交EP的延长线于点F，连接CE，CF，过点E作EH⊥AC交CA的延长线于点H．

当旋转角为150°时，由旋转可知，∠CAE=150°，DE与BC所夹的锐角为30°，

∴∠FBC=∠EAC=150°．

∵DEBF，

∴∠EDP=∠FBP．

∵点P是线段BD的中点，

∴PB=PD．

在和中，

∴BF= DE， PE=PF=EF．

∵DE=AE ，

∴BF=AE．

在和中，

∴CF=CE，∠FCB=∠ECA．

∵∠ACB=90° ，

∴∠FCE=90°，

∴△FCE是等腰直角三角形．

∵PE=PF，

∴PC⊥PE，PC=PE=EC．

在RtAHE中，∠EAH=30°，AE=DE=1，

∴HE=，AH=．

又∵AC=BC=3，

∴CH=AC+AH=3+．

在RtCEH中，

由勾股定理得 ，

．