Question

如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为（　　）

• A、

  1

  3

  π
• B、

  2

  3

  π
• C、π
• D、

  4

  3

  π

Answer 1

考点：弧长的计算,正方形的性质

专题：

分析：连接AF、DF，根据圆的定义判断出△ADF是等边三角形，根据正方形和等边三角形的性质求出∠BAF=30°，同理可得弧DE的圆心角是30°，然后求出弧EF的圆心角是30°，再根据弧长公式求出弧EF的长，然后根据对称性，图中阴影部分的外围四条弧都相等列式计算即可得解．

解答：解：如图，连接AF、DF，
由圆的定义，AD=AF=DF，
所以，△ADF是等边三角形，
∵∠BAD=90°，∠FAD=60°，
∴∠BAF=90°-60°=30°，
同理，弧DE的圆心角是30°，
∴弧EF的圆心角是90°-30°×2=30°，
∴

EF

=

30π×1

180

=

π

6

，
由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，
所以，图中阴影部分的外围周长=

π

6

×4=

2

3

π．
故选B．

点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定，弧长的计算，作辅助线构造成等边三角形是解题的关键，难点在于熟练掌握图形的对称性．