Question

19．满足方程$\sqrt{3x-4}$+$\root{3}{5-3x}$=1的所有实数x的和为$\frac{22}{3}$．

Answer 1

分析 利用换元法设t=$\sqrt{3x-4}$，则x=$\frac{{t}^{2}+4}{3}$①，代入原方程后变形为：$\root{3}{1-{t}^{2}}$=1-t，两边立方后求出t的值，代入①式可得x的值，相加即可．

解答 解：设t=$\sqrt{3x-4}$，则x=$\frac{{t}^{2}+4}{3}$①，
原方程变形为：$\root{3}{1-{t}^{2}}$=1-t，
两边同时立方得：1-t²=（1-t）³，
（1-t）³-（1-t）（1+t）=0
（1-t）[（1-t）²-（1+t）]=0，
1-t=0，（1-t）²-（1+t）=0，
当1-t=0时，t=1，
当（1-t）²-（1+t）=0时，
t²-3t=0，
t=0或t=3，
依次代入①式得：x₁=$\frac{5}{3}$，x₂=$\frac{4}{3}$，x₃=$\frac{13}{3}$，
∴x₁+x₂+x₃=$\frac{5}{3}$+$\frac{4}{3}$+$\frac{13}{3}$=$\frac{22}{3}$，
故答案为：$\frac{22}{3}$．

点评 本题考查了无理方程的解法，利用换元法将原方程化为关于t的方程是解题的关键．