Question

8．如图，已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c（b，c是常数，且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为（-1，0）．
（1）b=$\frac{1}{2}$+c，点B的横坐标为-2c（上述结果均用含c的代数式表示）；
（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c交于点E，点D是x轴上一点，其坐标为（2，0），当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB、PC，设所得△PBC的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将A（-1，0）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，可以得出b=$\frac{1}{2}$+c；根据一元二次方程根与系数的关系，得出-1•x_B=$\frac{c}{\frac{1}{2}}$，即x_B=-2c；
（2）由y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，求出此抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，c），则可设直线BC的解析式为y=kx+c，将B点坐标代入，运用待定系数法求出直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+c；由AE∥BC，设直线AE得到解析式为y=$\frac{1}{2}$x+m，将点A的坐标代入，运用待定系数法求出直线AE得到解析式为y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$；解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+（\frac{1}{2}+c）x+c}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，求出点E坐标为（1-2c，1-c），将点E坐标代入直线CD的解析式y=-$\frac{c}{2}$x+c，求出c=-2，进而得到抛物线的解析式；
（3）分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当-1＜x＜0时，由0＜S＜S_△ACB，易求0＜S＜5；（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．设点P坐标为（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2），则点F坐标为（x，$\frac{1}{2}$x-2），PF=PG-GF=-$\frac{1}{2}$x²+2x，S=$\frac{1}{2}$PF•OB=-x²+4x=-（x-2）²+4，根据二次函数的性质求出S_最大值=4，即0＜S≤4．则0＜S＜5．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c过点A（-1，0），
∴0=$\frac{1}{2}$×（-1）²+b×（-1）+c，
∴b=$\frac{1}{2}$+c，
∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴分别交于点A（-1，0）、B（x_B，0）（点A位于点B的左侧），
∴-1与x_B是一元二次方程$\frac{1}{2}$x²+bx+c=0的两个根，
∴-1•x_B=$\frac{c}{\frac{1}{2}}$，
∴x_B=-2c，即点B的横坐标为-2c；
故答案为：$\frac{1}{2}$+c；-2c；

（2）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与y轴的负半轴交于点C，
∴当x=0时，y=c，即点C坐标为（0，c）．
设直线BC的解析式为y=kx+c，
∵B（-2c，0），
∴-2kc+c=0，
∵c≠0，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴直线BC的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+c．
∵AE∥BC，
∴可设直线AE得到解析式为y=$\frac{1}{2}$x+m，
∵点A的坐标为（-1，0），
∴$\frac{1}{2}$×（-1）+m=0，解得：m=$\frac{1}{2}$，
∴直线AE得到解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+（\frac{1}{2}+c）x+c}\\{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=1-2c}\\{{y}_{2}=1-c}\end{array}\right.$，
∴点E坐标为（1-2c，1-c）．
∵点C坐标为（0，c），点D坐标为（2，0），
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{c}{2}$x+c．
∵C，D，E三点在同一直线上，
∴1-c=-$\frac{c}{2}$×（1-2c）+c，
∴2c²+3c-2=0，
∴c₁=$\frac{1}{2}$（与c＜0矛盾，舍去），c₂=-2，
∴b=$\frac{1}{2}$+c=-$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；

（3）①设点P坐标为（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）．
∵点A的坐标为（-1，0），点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，-2），
∴AB=5，OC=2，直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2．
分两种情况：
（Ⅰ）当-1＜x＜0时，0＜S＜S_△ACB．
∵S_△ACB=$\frac{1}{2}$AB•OC=5，
∴0＜S＜5；
（Ⅱ）当0＜x＜4时，过点P作PG⊥x轴于点G，交CB于点F．
∴点F坐标为（x，$\frac{1}{2}$x-2），
∴PF=PG-GF=-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）+（$\frac{1}{2}$x-2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x，
∴S=S_△PFC+S_△PFB=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+2x）×4=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴当x=2时，S_最大值=4，
∴0＜S≤4．
综上可知0＜S＜5．

点评 此题主要考查了二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，直线平移的规律，求两个函数的交点坐标，三角形的面积，一元二次方程的根的判别及根与系数的关系等知识，综合性较强，有一定难度，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．