【题目】通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例.
原题:如图①,点分别在正方形的边上, ,连接,则,试说明理由.
(1)思路梳理
因为,所以把绕点逆时针旋转90°至,可使与 重合.因为,所以,点共线.
根据 ,易证 ,得.请证明.
(2)类比引申
如图②,四边形中, , ,点分别在边上, .若都不是直角,则当与满足等量关系时, 仍然成立,请证明.
(3)联想拓展
如图③,在中, ,点均在边上,且.猜想应满足的等量关系,并写出证明过程.
【答案】(1)SAS,△AFE;(2);(3).
【解析】试题分析:(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,再证明△AFG≌△AFE进而得到EF=FG,即可得EF=BE+DF;
(2)∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF,与(1)的证法类同;
(3)根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′,根据旋转的性质,可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC,AE′=AE,∠C=∠ABE′,∠EAC=∠E′AB,根据Rt△ABC中的,AB=AC得到∠E′BD=90°,所以E′B2+BD2=E′D2,证△AE′D≌△AED,利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2;
试题解析:解:(1)∵AB=AD,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,∴∠BAE=∠DAG,∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠EAF=∠FAG,∵∠ADC=∠B=90°,∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,在△AFE和△AFG中,∵AE=AG,∠EAF=∠FAG,AF=AF,∴△AFE≌△AFG(SAS),∴EF=FG,即:EF=BE+DF.
(2)∠B+∠D=180°时,EF=BE+DF;
∵AB=AD,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合,∴∠BAE=∠DAG,∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠EAF=∠FAG,∵∠ADC+∠B=180°,∴∠FDG=180°,点F、D、G共线,在△AFE和△AFG中,∵AE=AG,∠FAE=∠FAG,AF=AF,∴△AFE≌△AFG(SAS),∴EF=FG,即:EF=BE+DF.
(3)猜想:DE2=BD2+EC2,理由如下:
根据ΔABD绕点A逆时针旋转90°得到ΔACD′,如图,连接ED′.
∴ΔABDΔACD′.
∴CD′=BD,AD′=AD,∠B=∠ACD′,∠BAD=∠D′ AC.
在RtΔABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°.
∴∠ACB+∠ACD′=90°,即∠D′ CE=90°,∴D’C2+CE2=D′E2.
又∵∠DAE=45°,∴∠BAD+∠EAC=45°.
∴∠D′AC+∠EAC=45°,即∠D′ AE=45°.∴ΔAD′ EΔADE,∴ED=ED′,∴DE2=BD2+EC2.
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【题目】某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”,从中抽取了部分学生的生物考试成绩,将他们的成绩进行统计后分为A,B,C,D四等,并将统计结果绘制成如下的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题
(1)抽取了______名学生成绩;(2)请把条形统计图补充完整;
(3)扇形统计图中等级D所在的扇形的圆心角度数是______;
(4)若A,B,C代表合格,该校初二年级有300名学生,求全年级生物合格的学生共约多少人
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【题目】小亮、小颖的手上都有两根长度分别为5、8的木棒,小亮与小颖都想通过转动转盘游戏来获取第三根木棒,如图,一个均匀的转盘被平均分成6等份,分别标有木棒的长度2,3,5,8,10,12这6个数字.小亮与小颖各转动转盘一次,停止后,指针指向的数字即为转出的第三根木棒的长度.若三根木棒能组成三角形则小亮获胜,三根木棒能组成等腰三角形则小颖获胜.
(1)小亮获胜的概率是 ;
(2)小颖获胜的概率是 ;
(3)请你用这个转盘设计一个游戏,使得对小亮与小颖均是公平的;
(4)小颖发现,她连续转动转盘10次,都没转到5和8,能不能就说小颖获胜的可能性为0?为什么?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点D在线段BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.
(1)当∠BDA=115°时,∠EDC=______°,∠DEC=______°;点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变______(填“大”或“小”);
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数.若不可以,请说明理由.
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【题目】随着人们生活质量的提高,净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭,某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器,下表是近两周的销售情况:
(1)求A,B两种型号的净水器的销售单价;
(2)若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台,求A种型号的净水器最多能采购多少台?
(3)在(2)的条件下,公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标?若能,请给出相应的采购方案;若不能,请说明理由.
销售时段 | 销售数量 | 销售收入 | |
A种型号 | B种型号 | ||
第一周 | 3台 | 5台 | 18000元 |
第二周 | 4台 | 10台 | 31000元 |
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【题目】某商场要经营一种新上市的文具,进价为20元∕件.试销阶段发现:当销售价为25元∕件时,每天的销售量是250件,销售价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润(元)与销售单价(元)之间的函数关系式.
(2)求销售单价为多少元时,该文具每天的销售利润最大?
(3)在保证销售量尽可能大的前提下,该商场想获得每天2000元的利润,应该将销售价定为多少元?
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【题目】如图:(1)写出△ABC中点A、点C坐标;(2)画出△ABC绕点A管好逆时针旋转90°后的△AB'C';(3)在(2)的条件下,求点C旋转到C'所经过的路线长。(结果保留)
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【题目】在如图所示的平面直角坐标系中,是边长为的等边三角形,作与关于点成中心对称,再作与关于点成中心对称,如此作下去,则.(是正整数)的顶点的坐标是___________________.
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【题目】如图,矩形BCDE的各边分别平行于x轴与y轴,物体甲和物体乙由点A(2,0)同时出发,沿矩形BCDE的边作环绕运动,物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动,物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动,则两个物体运动后的第2018次相遇地点的坐标是( )
A. (1,﹣1) B. (2,0) C. (﹣1,1) D. (﹣1,﹣1)
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