【题目】如图,平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥AD于点E,过点E作EF⊥AB于点F,与CD的延长线交于点G,连接BG,且BE=BC,BG=5,∠BGF=45°,EG=3,若点M是线段BF上的一个动点,将△MEF沿ME所在直线翻折得到△MEF′,连接CF′,则CF′长度的最小值是_____.
【答案】2
【解析】
连接CE,易知当点F′落在线段CE上时,线段CF′的长度最小,在△BGF中,EF⊥AB,∠BGF=45°,BG=5,可得BF=FG=5,FE=2,由勾股定理可得,BE=,由平行四边形ABCD可得,AD∥BC,又因为BE⊥AD,推出BE⊥BC,继而推出△BCE是等腰直角三角形,然后根据勾股定理求出CE,根据翻折的性质可得EF′=EF,最后由CF′=CE-EF′即可求解.
解:如图所示,连接CE,易知当点F′落在线段CE上时,线段CF′的长度最小,
∵EF⊥AB,BGF=45°,BG=5,
∴△BGF是等腰直角三角形,BF=FG=5,
∵EG=3,
∴FE=FG- EG=5-3=2,
由勾股定理得,BE===,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC
又∵BE⊥AD, BE=BC
∴BE⊥BC
∴△BCE是等腰直角三角形,
由勾股定理得,CE==,
根据翻折的性质可得:EF′=EF=2,
∴CF′=CE-EF′=-2
故答案为:-2
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【题目】某游乐场一转角滑梯如图所示,滑梯立柱AB、CD均垂直于地面,点E在线段BD上,在C点测得点A的仰角为30°,点E的俯角也为30°,测得B、E间距离为10米,立柱AB高30米.求立柱CD的高(结果保留根号)
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【题目】如图,在△ABC中,CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,M为BC的中点连接ME、MF、EF.
(1) 求证:△MEF是等腰三角形;
(2) 若∠A=,∠ABC=50°,求∠EMF的度数.
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【题目】已知,AB、AC是圆O的两条弦,AB=AC,过圆心O作OH⊥AC于点H.
(1)如图1,求证:∠B=∠C;
(2)如图2,当H、O、B三点在一条直线上时,求∠BAC的度数;
(3)如图3,在(2)的条件下,点E为劣弧BC上一点,CE=6,CH=7,连接BC、OE交于点D,求BE的长和的值.
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【题目】高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元作为固定投资,已知生产每件产品的成本是40元.在销售过程中发现:当销售单价定为100元时,年销售量为20万件;销售单价每增加10元,年销售量将减少1万件,设销售单价为x(元),年销售量为y(万件),年获利(年获利=年销售额一生产成本—投资)为z(万元).
(1)试写出y与x之间的函数关系式(不写x的取值范围);
(2)试写出z与x之间的函数关系式(不写x的取值范围);
(3)公司计划,在第一年按年获利最大确定销售单价进行销售;到第二年年底获利不低于1130万元,请借助函数的大致图象说明:第二年的销售单价x(元)应确定在什么范围内?
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【题目】某学校组织团员举行申奥成功宣传活动,从学校骑车出发,先上坡到达A地后,宣传8分钟;然后下坡到B地宣传8分钟返回,行程情况如图.若返回时,上、下坡速度仍保持不变,在A地仍要宣传8分钟,那么他们从B地返回学校用的时间是( )
A. 45.2分钟 B. 48分钟 C. 46分钟 D. 33分钟
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【题目】如图1,在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,连接DF,且P是线段DF的中点,连接PG,PC.
(1)如图1中,PG与PC的位置关系是 ,数量关系是 ;
(2)如图2将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”其它条件不变,求证:PG=PC;
(3)如图3,若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”,点A,B,E在同一条直线上,连接DF,P是线段DF的中点,连接PG、PC,且∠ABC=∠BEF=60°,求的值.
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【题目】如图,平行四边形ABCD的面积为32,对角线BD绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后,其所在直线分别交BC,AD于点E、F,若AF=3DF,则图中阴影部分的面积等于_____
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